LIV. VI, CHAP. V — DES PARABOLOIDES

Mais la même impossibilité n’existe pas pour le paraboloïde hyperbolique. Nous venons de reconnaître, en étudiant les sections planes, que par tout point M de la surface passent deux droites situées tout entières sur la surface. Le plan de ces deux droites est le plan tangent à la surface au point M. Nous remarquons d’ailleurs que par le point M, il ne passe pas une troisième droite située sur la surface; car, s’il y en avait une troisième, elle serait aussi contenue dans le plan tangent; or ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites. Nous avons vu aussi que tout plan parallèle à l’un des deux plans AOX, BOX coupe la surface suivant une droite ; les deux droites qui passent par le point M sont donc parallèles, l’une au plan AOX, l’autre au plan BOX. Il résulte de là que les droites situées sur la surface du paraboloïde hyperbolique peuvent être distinguées en deux séries, dont chacune constitue toute la surface. La première série se compose des droites parallèles au plan AOX, celles de la seconde série sont parallèles au plan BOX; ces deux plans ont reçu le nom de plans directeurs.

Mais on opère commodément cette distinction et on se rend bien compte de la position des droites, en se servant de l’une des paraboles principales.

5&1 — Puisque par tout point de la surface passent deux droites, il est clair que par tout point D de la parabole principale P passent deux droites DG, DH situées sur la surface. Si

l’on prend pour axes des coordonnées le diamètre DX', la tangente DS à la parabole principale, et la perpendiculaire DZ' au plan principal, et si l’on désigne par 6 l'angle SDX', la surface aura pour équation

y'* «in *6

ip

Le plan Z' DS a pour trace.

sur

4fl(> GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

le plan principal, la tangente ST à la parabole principale ; ce plan .t7 = 0 coupe la surface suivant deux droites

qui se projettent sur le plan principal suivant la tangente ST. Ainsi, toute tangente à une parabole principale est la projection de deux droites situées sur la surface.

Les deux droites DG, DH font des angles égaux avec le plan principal ou avec la perpendiculaire W/J à ce plan ; si l’on appelle 7 ce dernier angle, on a

langy = 1/ - x * y q sin 6

553 — Imaginons maintenant que le point D parcoure la parabole principale P dans le sens OD ; toutes les droites, dont les parties supérieures au plan principal font avec les tangentes, prises dans le sens du mouvement, des angles aigus, formeront le premier système ; toutes celles dont les parties supérieures font avec ces mêmes tangentes des angles obtus, formeront le second système. Ainsi, les droites OA et DG appartiennent au premier système, les droites OB et DH au second système. Il est clair que ces deux systèmes, tels que nous venons de les définir, comprennent toutes les droites situées sur la surface; nous remarquons d’abord qu’une droite quelconque, située sur la surface, rencontre le plan principal en un point D de la parabole P, puisque les sections parallèles à ce plan sont des paraboles; or, par le point D passent seulement deux droites DG, DH appartenant, l’une au premier système, l’autre au second ; la droite considérée coïncidera donc avec l’une de ces deux droites.

553 — Cette manière de distinguer les deux systèmes de droites s’accorde avec celle que nous avons donnée d’abord au moyeu de deux plans directeurs. Nous allons faire voir, en effet, que toutes les droites du premier système sont parallèles à un même plan AOX, toutes celles du second système au plan