L1V. VI, CHAP. V.— DES PAHABOLOIDES

BOX. Les deux droites I)H, DG percent le plan principal X07. aux points H et K appartenant à la parabole principale Q, et situés sur la verticale élevée par le point T où la tangente DS rencontre le prolongement de l’axe OX; les projections HD/, KD' de ces deux droites sur le plan principal XOZ sont tangentes à la parabole Q, et passent par le point D' projection du point D. Le point D se projette en D" sur le plan YOZ; les points H et K se projettent enH' et K"; en joignant D"H', D"K", on aura les projections D"H', D"G" des deux droites DH, DG sur le plan YOZ. Les points D et H appartenant aux paraboles principales, on a DD'’=2p x Oiy, HT*=2gxOT; les deux longueurs OIT et OT étant égales entre elles, il en résulte

OD"DD/ . /F • OH' — HT “ F q ‘

Ainsi, la projection D"H' de la droite DH sur le plan YOZ conserve une direction constante et reste parallèle à la droite OB du même système. De même, la projection K"D"G" de la droite DG conserve une direction constante et reste parallèle à la droite OA. En d’autres termes, la droite DG du premier système reste parallèle au plan AOX, et la droite DH du seeond système reste parallèle au plan BOX.

Quand le point D parcourt la parabole principale P en partant du sommet O, l’angle y que font les deux droites DG et DH avec la verticale DZ' augmente de plus en plus, et tend vers un angle droit.

554— Les deux droites DD7', HH' étant égales et parallèles, nous remarquons que la figure DD"HH' est un parallélogramme, et, par conséquent, que les diagonales I)H, D''H' se coupent mutuellement en deux parties égales; ainsi le point I, où la génératrice DH perce le plau YOZ, est le milieu de la portion DI1 de cette droite comprise entre les deux plans principaux; le lieu du point I est la droite OA du premier système.

555— Par chaque point de la surface passent deux droites.

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

une de chaque système; il est facile de les construire. Soit M un point de la surface que nous supposerons situé au-dessus du plan principal XOY (fig. 270) ; ce point se projette en un point m extérieur à la parabole P; par le point m menons des tangentes mD,mE à la parabole; par le point de contact Dde la première tangente, menons la droite DG du premier système, et, par le point de contact E de la seconde, la droite EL du second système. Les plans projetants GDm, LEm de ces deux droites se coupent suivant une droite MM' perpendiculaire au plan XOY ; cette perpendiculaire élevée par le point m perce la surface en deux points; l’un est le point M situé au-dessus du plan principal, l’autre le point symétrique M' situé en dessous. La droite DG, faisant avec Dm un angle aigu, rencontre la partie supérieure m M de la droite MM', et elle passe au point M, puisque celle partie supérieure ne rencontre la surface qu'en un point. De même, la droite EL faisant avec le prolongement de m E un angle obtus, ou avec Em un angle aigu, rencontre la partie supérieure tnM de la même droite au même point M. Ainsi, par le point M passent les deux droites MD , ME , qui appartiennent, l’une au premier système, l’autre au second.

556— Soient DG, EL deux génératrices de systèmes différents (fig. 270) ; ces droites se projettent sur le plan principal suivant des tangentes Dm, Em à la parabole principale; ces deux tangentes se coupent en un point m, et les deux plans projetants suivant une droite MM' perpendiculaire au plan principal. Comme nous l’avons expliqué plus haut, les deux droites DG, EL, appartenant à des systèmes différents, rencontrent la perpendiculaire MM' d’un même côté du plan principal, et, par conséquent, se coupent au point M, où cette perpendiculaire perce la surface. Ainsi, deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours.

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