L1V.VI, CHAP. VI. — RISCIJS. DES ÉQUATIONS NUMÉR

n’est pas nécessaire d’effectuer tous les calculs indiqués. On commence par former l’équation du troisième degré qui donne S; il y a ensuite plusieurs cas à distinguer.

1° Quand l’équation du troisième degré n’a pas de racine nulle, on sait que la surface a un centre unique, et que son équation peut être ramenée à la forme

S*, + S'y+S"z*+Fl=0.

Pour déterminer la nature de la surface, il suffit de calculer F, et de voir les signes des racines S, S', S", signes qui sont donnés immédiatement par le théorème de Descartes.

2° Quand l’équation du troisième degré a une seule racine nulle, l’équation peut être réduite à l’une des deux formes S'ÿ* + S"z«-t-Pa:=:0, sy+s'^’ + F, =0.

La première représente des surfaces dépourvues de centre, et la seconde des surfaces ayant pour centres tous les points d’une droite. Pour connaître la forme qui convient à l’exemple donné, on aura recours aux équations qui déterminent le centre. Lorsque ces équations sont incompatibles, le lieu est un paraboloïde, elliptique si S' et S" ont le même signe, hyperbolique si S' et S" ont des signes contraires. Lorsque le lieu admet une infinité de centres, ce lieu est un cylindre, dont on détermine la nature par une section Don parallèle à l’axe.

3° Lorsque l’équation du troisième degré a deux racines nulles, l’équation peut être réduite à l’une des formes S"5« + P.r = 0,

La première représente une surface dépourvue de centre, et la seconde une surface qui admet pour centres tous les points d’un plan. On aura encore recours aux équations qui déterminent le centre. Si ces équations sont incompatibles, le lieu est un cylindre parabolique. Si elles se réduisent à une seule, le lieu est l’ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l’équation n’a pas de solutions réelles; une section non parallèle au plan des centres déterminera la nature du lieu.

ôoo GEOMETRIE ANALYTIQUE.

565— La discussion est résumée dans le tableau suivant.