LIV. VF, CHAlJ. V.— DES PABAB0L01DES

bolique. Imaginons que l’on ait fait lin cadre en bois ACDB, ayant la forme d’un quadrilatère gauche; si l’on divise les deux côtés opposés AB, CD en un même nombre de parties égales, et que l’on joigne par des fils tendus les points de division correspondants , ces fils représenteront l’un des systèmes de génératrices rectilignes d’un paraboloïde hyperbolique. Si l’on divise de même les deux côtés opposés AC, BD en un même nombre de parties égales, et que l’on joigne par des fils les points correspondants, on obtiendra le second système de génératrices.

Si le quadrilatère ACDB était plan , les fils seraient tous situés dans le plan du quadrilatère ; mais, que l’on déforme le quadrilatère de manière à le rendre gauche, les fils oesseront d’être situés dans un même plan et formeront un paraboloïde hyperbolique ; c’est pourquoi on a donné aussi à cette surface le nom de plan gauche.

503 — Il est facile de déduire de l’équation du paraboloïde hyperbolique

celles des deux systèmes de génératrices. En effet, cette équation peut être mise sous la forme

Les deux équations du premier degré

dans lesquelles le paramètre X est arbitraire, représentent un système de droites situées sur la surface; car, en multipliant ces deux équations membre à membre, on retrouve l’équation (1). Les deux équations

JL L.=£L.

\ /2p y/îq f*

dans lesquelles le paramètre ja est arbitraire, représentent un second système de droites situées sur la surface. Il est clair que par tout point de la surface passent deux droites, une de chaque système. D’ailleurs, la première des équations (X) montre que toutes les droites du premier système sont parallèles au plan

/ 2 p v Zq

et de même la première des équations (g) montre que toutes les droites du second système sont parallèles au plan

/2 p y/iq

Ainsi, les systèmes d’équations (X) et (jx) représentent bien les deux systèmes de génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique, tels que nous les avons définis géométriquement.