LIV. VI, CHAP. VII.— GOND. POUR DÉFINIR UNE SURF

conique, on verrait, comme dans le cas précédent, que, outre cette solution, il y en aurait une infinité d'autres, déterminées chacune par un nouveau point pris en dehors des deux plans.

Lorsque sept des neuf points sont dans un même plan P, si ces sept points ne sont pas sur une même ligne du second degré, le lieu est l’ensemble du plan P et d’un second plan mené arbitrairement par la droite qui joint les deux autres points. Mais si les sept points sont sur une même courbe du second degré, outre ces solutions, il y en a d’autres, déterminées chacune par deux points arbitraires. Les cas, dans lesquels huit ou neuf points sont dans un même plan, donnent lieu à des remarques analogues.

&77 — Considérons deux surfaces du second degré définies par les deux équations

L’équation

représente, quelle que soit la valeur de X, une surface du second degré qui passe par la courbe d’intersection des deux premières surfaces. On peut choisir X de manière que la surface (3) passe par un point quelconque M pris en dehors des surfaces (1) et (2). D'ailleurs, il est facile de s’assurer qu’il n’existe qu’une surface du second degré passant par le point M et la courbe d’intersection des surfaces (1) et (2). Supposons, eri effet, que deux surfaces S et S' satisfassent à ces conditions; menons par le point M un plan quelconque P; ce plan coupera les surfaces (1) et (2) suivant deux lignes du second degré ayant quatre points communs; il coupera aussi les deux surfaces S et S' suivant deux lignes du second degré passant par les quatre points communs aux deux premières et par le pointM; mais ces quatre points et le point M déterminent complètement une ligne du second degré. Les deux surfaces S et S', étant coupées suivant la même courbe par tout plan mené par le point M, coïncident. Ainsi, la ligne de rencontre de deux surfaces du second degré et un point déterminent complètement une surface

du second degré; en d’autres termes, réquation (3) est l’équation générale des surfaces du second degré qui passent par la courbe d’intersection des surfaces (t) et (2).

5X8 — On peut supposer que l’une des équations (1) et (■2) représente deux plans, alors son premier membre est le produit de deux fonctions du premier degré P et Q des variables x , y, z. Donc réquation

(T) F+XPQ = 0

représente toutes les surfaces du second degré qui passent par les sections faites dans la surface (t) par les deux plans P=0,Q=0.

Par la même raison l'équation

(5) PQ-fXRS = 0

est l’équation générale des surfaces du second degré qui passent par les quatre droites d’intersection des plans P=0, Q = 0, avec les plans R=0, S = 0.

5 79— La ligne d’intersection de deux surfaces du second degré est généralement une courbe gauche, sur laquelle on peut, d’une infinité de manières différentes, prendre neuf points, de telle sorte que trois d’entre eux ne soient pas en ligne droite, ni quatre dans un même plan, et par ces neuf points on peut toujours faire passer une infinité de surfaces du second degré. Ainsi, lorsqu’on demande de faire passer une surface du second degré par neuf points donnés, ce n'est pas en examinant combien il y a de ces points sur une même droite ou dans un même plan que l’on pourra décider si le problème admet une ou plusieurs solutions.

580— Considérons deux surfaces du second degré ayant cinq points communs dans un même plan P; ces cinq points déterminent une courbe du second degré C, qui appartient aux deux surfaces. Prenons trois points communs aux surfaces, non compris dans le plan P, et par ces trois points imaginons un plan P' ; le plan P' coupe la courbe C en deux points qui, avec les trois premiers, déterminent une courbe du second