L1V. VI, CHAP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF

degré C ', également commune aux deux surfaces. Les deux surfaces ne peuvent pas avoir un nouveau point commun, non situé sur les courbes G et C', sans quoi elles coïncideraient (r.0 575).

Ainsi, lorsque la ligne d’ intersection de deux surfaces du second degré a cinq points dans un même plan, cette ligne se compose de deux courbes planes.

581 — Considérons deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points A et B. Soit C un troisième point commun aux deux surfaces; par les trois points A, B, G faisons passer un plan P; ce plan coupera chacune des surfaces suivant une courbe du second degré ; ces deux courbes ont trois points communs A, B, C, et les mêmes tangentes en deux points A et B; donc elles se confondent. Car nous avons vu (n°270) qu’il n’y a qu’une courbe du second degré remplissant ces conditions. Puisque le plan P coupe les deux surfaces suivant la même courbe, il résulte du théorème précédent que la ligne d’intersection des deux surfaces est formée de deux courbes planes. Ainsi, deux surfaces du second degré, qui se touchent en deux points, se coupent suivant deux courbes planes , et les plans des deux courbes se coupent suivant la droite qui joint les points de contact donnés.

La démonstration précédente suppose que les plans tangents en A et B ne se coupent pas suivant AB, c’est-à-dire que les points donnés n’appartiennent pas à une droite située sur la surface. Dans ce cas, nous verrons qu’en général la ligne d’intersection se compose d’une ligne droite et d’une ligne gauche dont la projection sur un plan est du troisième degré.

588— Considérons enfin deux surfaces du second degré qui se toucheut en trois points A, B, C; d’après le dernier théorème, tout point commun aux deux surfaces doit se trouver dans un même plan avec chacune des cordes AB, BC, CA ; les surfaces n’ont donc pas de point commun en dehors du plan P déterminé par les points A, B, C. Ce plan P coupe les deux sur-

faces suivant une même courbe S, et les deux surfaces ont le même plan tangent en chaque point D de la courbe. En effet, par le point D et le point A, par exemple, menons un plan quelconque différent du plan P, ce plan coupe les deux surfaces suivant deux courbes qui passent en A et D; ces deux courbes sont tangentes en A. et, comme elles n’ont pas d’autre point commun que le point b, elles sont aussi tangentes en ce point. Ainsi, lorsque deux surfaces du second degré se touchent en trois points, elles sont tangentes en tous les points d’une ligne plane située dans le plan des trois points.

583 — Nous avons vu que l’équation F + XPQ = 0

représente une surface du second degré qui passe par les courbes d’intersection de la surface F=0 avec les plans P = 0, Q=0. 11 en résulte que les surfaces représentées par l’équation (6) F + XP’=0

sont tangentes à la surface F=0 suivant la courbe d’intersection G de cette surface et du plan P=0.

L’équation (6) renferme un paramètre arbitraire X qui permet de faire passer la surface par un point arbitraire; d’autre part on démontre, comme au n°577, qu’une surface, qui doit être tangente à une surface du second degré en tous les points d’une courbe plane et passer par un point donné, est complètement déterminée. On peut donc regarder l’équation (6) comme l’équation générale des surfaces du second degré qui touchent la surface (1) aux points où elle est coupée par le plan P=0.

Si l’on a deux surfaces du second degré circonscrits à une même surface du second degré F =0, ces deux surfaces sont représentées par des équations de la forme F + XPa = 0,

elles se coupent suivant deux courbes du second degré situées dans les plans