PQ+X

II est clair que le système des deux plans PQ=0 forme un premier cône du second degré passant par les deux courbes. Cette première solution correspond à une racine double X=0 de l’équation du quatrième degré en X, qui s’abaisse ainsi au second degré. Pour simplifier le calcul, prenons les deux plans pour plans des yz et des xz; l’équation (13) devient xy+lf=0,

et les équations (11) et (12) se réduisent à

x+\fÿ—0,

cx-\-c'y-\-c"z-\-d=0,

Si des deux dernières on tire les valeurs de x et y en fonction de z, qu’on les substitue dans les deux premières, et qu’on élimine ensuite z, on arrivera évidemment à une équation du second degré en X. Ainsi, par deux sections planes d’une surface du second ordre, on peut faire passer deux cônes du second degré.

EXERCICES

1° On mène des normales à un ellipsoïde par les différents points d’une section plane ; trouver le lieu de la trace de ces normales sur l’un des plans principaux. Examiner le cas où le plan de la section est perpendiculaire au plan principal.

2° Etant donné un ellipsoïde, on mène des plans diarnébr. 34

traux qui coupent le solide suivant une ellipse d’aire constante; trouver le lieu : 4° de la perpendiculaire menée par le centre à ce plan ; 2» du diamètre conjugué.

3« L'œil étant placé en un point de la surface d’un ellipsoïde, les perspectives de toutes les sections planes de la surface sur le plan diamétral conjugué du rayon qui aboutit à l'œil, sont des courbes homothétiques; le centre de chacune d'elles est la perspective du sommet du cône circonscrit à l’ellipsoïde suivant la section plane considérée.

4° Démontrer que le lieu de la droite d’intersection de deux plans rectangulaires menés par deux droites données, est un hyperboloïde à une nappe dont les sections circulaires sont perpendiculaires à chacune des deux droites données.

5° Un cône a pour sommet un point d’un hyperboloïde de révolution à une nappe et pour base le cercle de gorge; démontrer que les sections anti-parallèles de ce cône sont perpendiculaires au plan du cercle de gorge.

6° Les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d’un tétraèdre sur les faces opposées sout situées sur un hyperboloïde à une nappe. Le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre, le centre de gravité du tétraèdre et le centre de l 'hyperboloïde sont en ligne droite.

7° Trouver le lieu des points tels que le rapport des distances de chacun d’eux à deux droites données soit constant. Déterminer ensuite, pour une surface du second degré susceptible de ce mode de génération, les divers couples de droites que l’on peut employer.

9° Le lieu des normales à une surface réglée quelconque le long d’une même génératrice est un paraboloïde hyperbolique.

10° Étant donné un point et deux plans rectangulaires, trouver le lieu des points tels que la distance de chacun d’eux au point Axe soit moyenne proportionnelle entre ses distances aux deux plans fixes.

4t° Par une génératrice d’un paraboloïde hyperbolique on mène un plan perpendiculaire au plan directeur auquel cette