LIV. VI, CHAP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF

génératrice est parallèle ; ce plan est langent à la surface en un point de la génératrice que l’on appelle le point central de la génératrice; trouver le lieu de ce point pour les génératrices du même système. (Ce lieu est la ligne de striction de la surface.)

12° Par une génératrice d’un hyperboloïde à une nappe on mène un plan tangent au cône asymptote et au plan perpendiculaire au précédent ; ce dernier touche la surface en un point qu’on appelle point central de la génératrice; trouver le lieu du point central ou la ligne de striction de la surface.

13» Par un point O pris sur l’arête d’un angle dièdre, on mène dans l’une des faces une droite OA et dans la seconde face une droite OB perpendiculaire à OA; trouver le lieu de la perpendiculaire menée par le point 0 au plan AOB.

14° Indiquer les diverses surfaces représentées par l’équation

x,-H2fn’4- 1 )(ÿ, + s’) — 'ï[yz-{-zx-srxy) — <lmi — 3 m -fl, quand on donne au paramètre m toutes les valeurs possibles.

15° Étant donné un cercle et deux points fixes A et B dans l’espace; par le point B et la droite des contacts relative à un point quelconque P du plan ou cercle, on mène un plan; trouver le lieu du point d’intersection de ce plan avec la droite AP.

16° Lorsque deux surfaces du second degré passent par deux droites non situées dans un même plan, l’intersection des deux surfaces se compose de ces droites et de deux autres droites, réelles ou imaginaires.

17° Lorsque deux surfaces du second degré se raccordent suivant une même génératrice, il y a en général sur cette génératrice deux points tels que la seconde génératrice qui passe par chacun d’eux est la même sur les deux surfaces.

t8» Les perspectives sur un même plan des sections planes d’une surface du second degré ont un double contact réel ou imaginaire avec le contour apparent de la surface.

19° Étant données les trois équations

dans lesquelles on suppose a>b>c, p<.c, c<iq~<^b, b<r<.a, et qui représentent, la première un ellipsoïde la seconde un hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloïde à deux nappes; démontrer: 1° que ces surfaces se coupent deux à deux à angle droit ; 2° les deux courbes suivant lesquelles une des surfaces est coupée par les deux autres ont pour tangentes en leur point d’intersection des droites parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

19« Étant données deux des surfaces considérées dans le problème précédent, trouver une surface de révolution du second degré (ayant pour axe l’un des axes de ces surfaces) à laquelle appartienne la ligne d’intersection.

20° Étant donnés les paraboloïdes représentés par l’équation

zi

dans laquelle a est un paramètre arbitraire ; si l’on attribue au paramètre <* deux valeurs telles que les paraboloïdes correspondants se coupent, ils se couperont à angle droit. Lorsqu’un paraboloïde est coupé par deux autres d’espèces différentes, les tangentes aux deux ligdes d’intersection au point commun sont parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

21° Étant donnés deux des paraboloïdes considérés précédemment, on propose, lorsque ces paraboloïdes se coupent, de trouver une surface de révolution du second degré (ayant pour axe l’axe commun des paraboloïdes) à laquelle appartienne la ligne d’intersection.

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