LIV. I, CHAI». IV.— TRANSF. DES COORDONNÉES

(io)

Cherchons maintenant la distance des deux points M et M’, situés d'une manière quelconque dans le plan; nous appelons v. x et y les coordonnées du point M, x' et

y' celles du point M' par rapport aux axes m. rectangulaires OX, OY. Par le point M

J — * — y (fig. 33) menons des axes MX', MY', parai*

- (i‘ lèles aux axes proposés; les coordonnées

Fi,;. 33. du point M', relativement à ces nouveaux

axes sont égales à x' — x, y’ — y, en vertu des formules (2) du n°49. La distance l de la nouvelle origine M au point M', d’après la formule (10), sera donc

(il) i=V[x'-xy- + (</'— >jy.

56 — Nous avons supposé jusqu’à présent les axes rectangulaires. Quand les axes sont obliques et font entre eux l’angle 0,

l’expression de la distance est un peu plus compliquée. Cherchons d’abord la distance de l’origine O à un point quelconque M du plan. Dans le triangle OPM (fig. 34), quelle que FY, 34 soit la position du point M, on a

ÔM’=()P’+ PM* — 2.0P.PM. cosOPM.

Quand le point M est situé dans l’angle YOX, les coordonnées as et y de ce point sont égales à -f- OP et à + PM, et l’angle OPM est le supplément de l’angle 0; on a donc

(12) /=i/x* + y*+%xy cos 0.

Si le point M est situé dans l’angle Y'OX', les coordonnées x et y étant égales à — OP et à — PM, et l’angle OPM le supplément de 0, on obtient la môme formule (12). Quand le point M est situé dans l’un des angles YOX', Y'OX, l’angle OPM est égal à 0, mais l’une des coordonnées est négative, ce qui reproduit encore la formule (12). Cette formule est donc géné-

rale.

Pour avoir la distance des deux points M et M', on imaginera

4i GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

comme précédemment par le point M des axes parallèles aux premiers, et ou obliendra la formule

03) / = V (x'— x)’ + (y— y) * -f- 2 (x'— x) [y'— y) cos 9.