L1V. I, CH A P. IV.— TRANSF. DES COORDONNÉES

Les lignes algébriques ont été classées d’après le degré de leurs équations. Les lignes du premier degré sont celles qui sont représentées par des équations du premier degré en x et y , l’équation du second degré donne les lignes du second degré, etc.

Il est aisé de voir que le degré d’une ligne reste le même, quelle que soit la position des axes dos coordonnées rectilignes. En effet, soit f ( x , y)= 0 l’équation d’une ligne rapportée à de certains axes OX et OY, ni le degré de cetîc équation supposée entière (dans l’évaluation du degré on ne tient compte que des coordonnées * et y). Pour rapporter cette ligne à d'autres axes O'X' et O’Y", on substituera à la place de x et y dans l’équation les valeurs données par les formules de transformation (8) ; ces formules étant du premier degré par rapport aux coordonnées, il est impossible que l’équation en x' et y1 soit d’un degré plus élevé que m. Elle ne sera pas non plus d’un degré moindre; car alors la transformation inverse élèverait le degré, ce qui est impossible. Ainsi la nouvelle équation est de même degré que l’équation primitive.

Le degré d’une ligne indique en combien de points au plus elle peut être coupée par une droite. En effet, soit m le degré de la ligne, f(x, ÿ)=0 l’équation qui la représente lorsqu’on prend la droite sécante pour axe des x; si dans celte équation on fait y— 0, l’équation eii x ainsi obtenue donnera les abscisses des points du lieu qui ont une ordonnée nulle, c’est-àdire les points communs à ce lieu et à l’axe des x. Quand le premier membre de l’équation n’est pas identiquement nul. comme il est au plus du degré m, l’équation n’a pas plus dem racines et par conséquent la droite a au plus m points communs avec le lieu. Si l’on savait que l’équation fut vérifiée par plus de m valeurs de x, le premier membre serait identiquement nul, et par conséquent la droite entière ferait partie du lieu; dans ce cas, le polynôme f[x, y) devenant identiquement nul, quand on y fait y=0, contiendrait y en facteur et l'équation f (x, y)=0 se décomposerait en deux, l’une y— 0 du premier degré, l’autre du degré m — 1.

4ti

D’après cela, les lignes du premier degré, ne pouvant être coupées par une droite dn plus d’un point, sont des lignes droites. Les lignes du second degré ne peuvent être coupées par une droite en plus de deux points; celles du troisième degré en plus de trois points. Le cercle, l’ellipse, l'hyperbole et la parabole sont des courbes du second degré (n™ II, 19, 23, 26); ces courbes peuvent être coupées en deux points par des droites. La cissoïde cl la strophoïde (n°* 29 et 32) sont du troisième degré ; ces courbes peuvent être coupées en trois points par des droites. Le limaçon de Pascal (n° 33) est du quatrième degré, la rosace à quatre branches (nu 39) du sixième degré.

Nous étudierons d’abord les lignes du premier degré, puis celles du second degré, et ensuite les lignes d’un degré quelconque.

Quand on dit qu’une équation algébrique entière du degré m représente une ligne du degré m, on suppose que le premier membre n’est pas déeomposable en un produit de facteurs entiers; autrement l’équation représenterait deux ou un plus grand nombre de lignes d’ordre inférieur. Ainsi, par exemple, une équation du second degré, dont le premier membre est le produit de deux facteurs entiers du premier degré, représente deux lignes du premier degré, c’est-à-dire deux droites. De même, une équation du troisième degré peut représenter trois droites, ou une ligne du second degré avec une ligne droite. C’est pourquoi certaines propriétés des lignes de l’ordre m s’appliquent au système de m droites, c’est-à-dire au polygone de m côtés.