LIV. II, CHAP. I. — LIGNE DROITE

nulent les deux parenthèses el, par conséquent, satisfont à l’équation (12). Cette équation (12), dans laquelle le coefficient X est arbitraire, représente toutes les droites qui passent par le point d’intersection des deux droites données; car on peut déterminer ce coefficient de manière que la droite passe par un point quelconque M du plan, ayant pour coordonnées x1 et y' ; il suffit pour cela que l’équation de condition (A x' + Ki/ + C) + X (A' x1 + B// + C')=0 soit vérifiée, ce qui donne

Ax' + By'-f-C

Quand on fait X=0, l’équation (12) devient Ax+By-fC=:0;

c’est la première droite. Si l’on remplace X par-^1, et qu’après

avoir multiplié par n, on fasse n=0, on a la seconde droite A'x + B'y + C'=0.

70— Si, dans l’équation (12), on remplace X par sa valeur (13), on obtient l’équation

Ax + By + C A'x+B'y + C'

' ' Ax' + By' + C'- A'x'+BV+C'’ qui représente la droite passant par le point M el le point d’intersection des deux droites données.

Les numérateurs sont les premiers membres des équations de deux droites données, les dénominateurs les valeurs de ces polynômes, quand on remplace x et y par les coordonnées du point donné. On reconnaît immédiatement, à l’inspection de cette équation, que la droite qu’elle représente passe par le point donné et par le point d’intersection des deux droites données.

PROBLÈME VI

71— Reconnaître si trois points sont en ligne droite.

Soient M, M', M" les trois points donnés, x', y' les coordonnées du premier point, x", y" celles du second, x'" et y”'.

celles du troisième (fig.43). La droite MM' a pour coefficient an-

gulaire — r, — — (n° 66) ; de même la droite x — x

ttt ^

MM" a pour coefficient angulaire — - •

Fig 43. ligne droite, les deux droites MM', MM'' coïncident et ont même coefficient angulaire; les coordonnées des trois points doivent donc vérifier la condition

PROBLÈME VII

7 2— Reconnaître si trois droites passent par un même point. Soient

Ax -|- Bÿ-f- C 0,

A,'af+B//y + C»=0,

les équations de trois droites données. Pour voir si ces trois droites passent par un même point, on cherchera le point d’intersection des deux premières droites, et on substituera les coordonnées de ce point dans la troisième équation.

Mais d’ordinaire, quand trois droites passent par un même point, on le reconnaît immédiatement à l’inspection de leurs équations, l’une d’elles étant la combinaison des deux autres. Pour en montrer un exemple, considérons les trois médianes d’un triangle OAB (fig. 44); prenons le sommet O pour j- origine, les deux côtés OA et OB pour Fig. 4*. axes des coordonnées, et désignons par

a et b les deux longueurs OA et OB. La médiane AE, coupant

les axes à des dissances a et-^de l’origine, a pour équation