L1V. II, CHAP. I.— LIGNE DROITE

de même, la médiane BF a pour équation

Le point D, milieu de AB, a pour coordonnées OF 0E=~.

la droite OD , qui va de l’origine à ce point, est représentée par l’équation

En résolvant les deux premières équations, on obtient les coordonnées x =— , y=~, du point d’intersection G des deux

premières médianes AE et BF. Ces coordonnées vérifiant la troisième équation , on en déduit que la troisième médiane passe aussi par le point G.

On voit immédiatement que les trois médianes passent par un même point; car, si l’on retranche les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième.

73 — Comme exemple de trois points en ligne droite, considérons un quadrilatère OACB (fig. 45); si l’on prolonge les

quatre côtés indéfiniment, on forme ce qu’on appelle un quadrilatère complet; les côtés se coupent deux à deux en six points ou sommets; en joignant les sommets opposés, on obtient trois dia- Fie-45 gonales AB, A'B', OC ; nous

allons démontrer que les trois points D, E, F, qui divisent ces diagonales en deux parties égales, sont en ligne droite.

Prenons les côtés OA et OB pour axes des coordonnées ; désignons par a et a' les deux longueurs OA et OA', par b et b1 les deux longueurs OB et OB'. Le point D, milieu de AB, a

pour coordonnées x'=^, Le point E, milieu de A'B',

a pour coordonnées Pour avoir les coordon-

nées du pointE, milieu de OC, cherchons celles du point C, intersection des deux droites AB', A'B, qui ont pour équations

En résolvant ces deux équations simultanées, on obtient les coordonnées du point C,

aa' (b— b') bb' (a— a')

x a b — a1 b' ’ ^ ab—aV '

Le point F étant le milieu de la droite OC, ses coordonnées a!", y"' sont la moitié de celles du point C; on a donc

ao! (b-V) bb' (q-a')

— 2 (ab-a'b)’ J ~l(ab—a'b')'

Ayant les coordonnées des points D, E, F, on reconnaît aisément que les trois points sont en ligne droite. Les droites DE et DF ont pour coefficients angulaires

bb1 [a— a')

y"—tf ab — a'b/ b' — b

ab—ab' °

ces deux coefficients angulaires étant égaux entre eux, on en conclut que les trois points D, E, F sont en ligne droite.