GENRE PARABOLE

420 — Supposons enfin que le coefficient M soit nul. La valeur de Y se réduit à

Y=-^ l/2Nx + P,

Nous subdiviserons ce cas en plusieurs autres.

1° N > 0. Si l’on pose — — = x', on aura

Y=2Cl/2N(a:*'1-

Quand x varie de xf à +oo, la quantité Y est réelle et varie de 0 à +ao ; mais elle est imaginaire pour les valeurs de x inférieures à a/. Si donc, par le point P', dont l’abscisse est x on mène FA' parallèle à l’axe des y, on voit que la courbe est tout entière située à droite de cette parallèle; elle passe par le point h! et elle est formée de deux branches situées de part et d’autre du diamètre DD7 (fig. 65), on a donné à cette courbe le nom de parabole.

2° N<0. La quantité Y est réelle quand x varie de x1 à — oo ; la courbe passe phr le point A; et s’étend à l'infini du côté des x négatives ; on l’appelle aussi parabole.

3° N=0. La valeur de y se réduit à

Fig. 65.

Si P est positif, cette équation représente deux droites parallèles au diamètre DD/ et situées à égale distance de ce diamètre. Si P=0, ces deux parallèles se confondent avec le diamètre; enfin si P est négatif, l’équation n’a pas de solution réelle.

Dans le cas où M=0, l’équation (1) peut se mettre sous l’une des trois formes

(2Cy + BÆ + E)* + 2Na: + P=0,

(2Cÿ + Bx+E)* + P=0,

(2Cy + Ba; + E), = 0.

421 — Nous avons supposé dans ce qui précède que le coefficient C est différent de zéro, lorsque le coefficient C est nul, et le coefficient A différent de zéro , on pourrait résoudre l'équation par rapport à a; et construire le lieu comme précédemment; le premier terme du trinôme placé sous le radical ayant pour coefficient B*, et par conséquent ayant une valeur positive ou nulle, le lieu sera du genre hyperbole ou du genre parabole ; mais il est préférable de résoudre l’équation par rapporta la variable qui n’y entre qu’au premier degré; d’ailleurs cette nouvelle méthode est seule applicable quand les deux coefficients A et C sont nuis à la fois.

En ordonnant l’équation (1) par rapport à y on a (Bx-(-E)ÿ + A;c*-l-Da; + F= 0,

d’où

A;rs + D:r+ F

V~ Rr+Ë '

Supposons d’abord que B soit différent de zéro, et effectuons la division, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x jusqu’à ce que l’on arrive à un reste indépendant de x. Nous distinguerons deux cas suivant que le reste est différent de zéro ou égal à zéro. Dans le premier cas, on obtiendra un résultat de la forme

y=ax+b-

Bæ-fE

-=ax + b +

Pour fixer les idées supposons c> 0.

Construisons le lieu auxiliaire défini par l’équation

yz=ax+b.

et posons

Le lieu auxiliaire est une droite DD' (fig. 66), et, pour chaque valeur de x, il faut augmenter l’ordonnée de cette droite d’une quantité QM égale à la valeur de Y'.