CENTRE

1 $5— Nous avons appelé centre d’une courbe un point fixe C par rapport auquel tous les points de la courbe sont symétriques deux à deux. En discutant l’équation générale du second degré , nous avons reconnu que l’ellipse et l’hyperbole ont un centre. Nous nous proposons maintenant de rechercher directement le centre d’une courbe du second degré, sans résoudre l’équation. La méthode que nous suivrons repose sur le théorème suivant : c’est que, quand l’origine des coordonnées est centre d’une ligne du second degré, l’équation de la ligne ne contient pas de termes du premier degré.

Soif, en effet,

(1) Ax* + Bxy-l-Cyt4-Dx-l-Ei/4-F=0 l’équation d’une ligne du second degré ayant l’origine pour

centre (üg. 67); l’équation d’une droite MM' menée par l’origine est de la forme

(2) y—mx;

on obtient les coordonnées des points de rencontre M et M' en résolvant les équations simulrig. 67. tanées (1) et (2). L’élimination de

y donne l’équation

(3) (A+Bw + c»»’) æ»| (D + En»)a;4-F = 0, qui détermine les abscisses des deux points de rencontre. L’origine étant le milieu de la droite MM', l’équation précédente doit avoir ses deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que le coefficient de la première puissance de x soit égal à zéro ; on a ainsi

(4) D + Em=0,

et comme cette condition doit être vérifiée pour une infinité de valeurs de m, on doit avoir séparément

Réciproquement, lorsque les conditions (5) sont remplies, l’équation (3) a ses deux racines égales et de signes contraires, quelle que soit la valeur de m, et par suite l’origine est centre de la courbe.

126— Pour reconnaître si un lieu du second degré a un centre, on transportera les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire dont nous désignerons les coordonnées par a et b, puis on examinera si l’on peut déterminer ces quantités de manière que la nouvelle équation ne renferme pas de termes du premier degré.

Les formules pour déplacer les axes parallèlement à euxmêmes sont

En substituant dans l’équation (1) on obtient l’équation nouvelle

( x=a + xl , j ÿrrè + ÿ'.