LIV. III, CHAP. II.-CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES

(7) Aic/'+Bic/ÿ/+Ct/''>4-(2Aa+B6+D)a!/+(Ba+2C<> + E)y/

— A d *-f* Bo6-|-Cè:i-{-Dff-f“E6-i“F 0 ,

dont il importe de remarquer la composition. Désignons, pour abréger, par f ( x , y) le premier membre de l’équation (1) qui est une fonction entière du second degré en x et y; dans l’équation (7) les termes du second degré sont les mêmes que dans l’équation (!) ; les termes du premier degré ont pour coefficients les dérivées partielles de la fonction f (x, y) prises par rapport aux variables x et y, et dans lesquelles on aurait remplacé ces variables par a et b; enfin , le terme constant est la valeur que prend le polynôme f{x, y) pour x=a, y=b. L’équation (7) peut donc s’écrire ainsi

(8) Ax>'+Bx'y/ + Cy/*+ra(a,b)x’+rij (a, b) y'+f(a, b)= 0. En égalant à zéro les termes du premier degré, on obtient les deux équations

j 2Aa+B6 + D = 0,

W I Ba+2C&+E = 0.

On voit par là que l'on détermine le centre d’une courbe du second degré en résolvant les deux équations que l’on obtient en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l’équation proposée, prises par rapport à x et à y.

127— Si l'on considère a et b comme des coordonnées variables, chacune des équations (9) définit une droite, et, il y a lieu de distinguer plusieurs cas.

1° B* — 4AC^ 0. Les deux équations ont un système de solutions et un système unique ; les deux droites se coupent et la ligne admet un centre et un centre unique dont les coordonnées sont

2CD — BE a— B’— 4AC *

2AE— BD b~ B*— 4AC ‘

2° B5 — 4 AC = 0. Les droites (9) sont parallèles ou se confondent ; dans le premier cas le lieu n’a pas de centre ; dans

le second cas, il admet comme centre chacun des points de la droite définie par l’une des équations (9). Il est facile de voir que, dans ce dernier cas, s’il y a un lieu, ce lieu se compose nécessairement de deux droites parallèles. Soil, en effet, CC' la droite, lieu des centres (fig. 68), et M un point appartenant au lieu ; joignons le point M aux divers points de la droite CO et prolongeons chacune de ces droites d’une longueur égale à ellemême, les points N, N', N".... ainsi obtenus, appartiendront encore au lieu ; or, tous ces points sont situés sur une parallèle à CC'. En opérant de même avec le point N on aurait une seconde parallèle MM'. D’ailleurs l’équation (1) ne peut pas représenter d’autres points que ceux de ces deux droites ; autrement une droite rencontrerait le lieu en plus de deux points. Si le point M était situé sur la droite CC', les deux parallèles se confondraient avec le lieu des centres.

Fig. 68.

138 — Lorsque la courbe admet un centre, si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l’équation se simplifie, puisque les termes du premier degré disparaissent. Appelons F, le terme constant dans la nouvelle çqualion, on a

(11) F,=Aa* + Ba6 + C&4 + Da-l-E6-j-F, a et 6 désignant les coordonnées du centre. Mais les quantités a et b satisfont aux équations (9) ; si l’on multiplie les deux membres de chacune d’elles respectivement par a et 6 et que l’on ajoute, il vient

2Aa,+ 2Bai> + 2C6’ + Da + E6 = 0,

d’où

AaJ+Baè + C6J=substituant dans l’équation (11), on a

Da + E6 2 '

Cette formule est plus simple que la première.