REPRÉSENTATION DES LIGNES PLANES PAR DES ÉQUATIONS

6— Soit une ligne plane quelconque AB (fig. 7). Traçons dans le plan deux axes OX et OY, et désignons par x et y les deux coordonnées OP et MP d’un point M quelconque de la ligne; quand le point M se meut sur la ligne, les deux coordonnées varient simultanément; si l’on donne à l’abscisse une valeur arbitraire OP, la grandeur de l’ordonnée correspondante MP est parfaitement déterminée et la variation de l’abscisse entraîne celle de l’ordonnée. Ainsi l’ordonnée MP est une fonction de l’abscisse OP; la nature de cette fonction dépend de celle de la ligne. Quand la ligne est définie géométriquement, on conçoit que l’on puisse, de la définition géométrique de la ligne, déduire une équation entre x et y, servant à définir analytiquement la'fonctiou y. L’équation en x et y que l’on trouve de cette manière s’appelle l’équation de la ligne.

T — Supposons, réciproquement, quel’on donne une équation F (x, y)= 0,

entre deux variables x et y; chaque couple de valeurs réelles de x et y qui satisfont à cette équation détermine un point du plan ; or, si l’on fait varier x d’une manière continue entre certaines limites, l’équation est ordinairement satisfaite par des valeurs de y réelles et continues; l’ensemble des points

r. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

obtenus de la sorte forme donc une suite continue, c'est-à-dire une ligne. Ainsi , en général , une équation entre les deux coordonnées représente une ligne plane.

H— Ce que nous venons de dire des coordonnées rectilignes a lieu évidemment dans tout autre système de coordonnées. Dans le système polaire, quand le point M se meut sur la ligne, le rayon vecteur p varie avec l’angle «; c’est une fonction de m, et la ligne est représentée par une certaine équation entre p et w.

O — La représentation des figures par des équations est le fondement de la Géométrie analytique; c’est là ce qui permet d’appliquer à l’étude des figures les procédés du calcul algébrique. On s’occupe en Géométrie analytique de trois questions fondamentales : Quand une figure est définie géométriquement, on cherche son équation; réciproquement, on apprend à construire la figure que représente une équation donnée; enfin, on étudie les relations qui existent entre les propriétés géométriques des figures et les propriétés analytiques des équations.

Les exemples que nous donnons dans le chapitre suivant feront bien comprendre comment on représente les lignes par des équations.