LIV. III, CHAP. IX. — COURBES DU SECOND DECRÉ

asymptotes équivalent à quatre conditions, et la courbe est déterminée par les deux asymptotes et un point ou une tangente. Si l’on ne donnait qu’une asymptote A=0, l’équation B = 0 de l’autre asymptote étant indéterminée, l'équation (8) contiendrait trois paramétres arbitraires, de sorte qu’une asymptote équivaut à deux conditions.

Nous avons vu que toute courbe du second degré a un foyer et une directrice ; il en résulte que l’équation

(9) (x - a)* + {y — p)*= ( mx + ny + p)\

par laquelle on exprime la propriété du foyer et qui renferme les cinq paramètres arbitraires a, p, m, n, p, représente toutes les courbes du second degré. Un foyer équivaut à deux conditions; car si l’on donne un foyer, ses coordonnées a et p étant connues, l’équation (9) ne contient plus que trois paramètres arbitraires. De même une directrice équivaut à deux conditions; car, en donnant l’équation de la directrice, on détermine les rapports de deux des paramètres m, n, p au troisième.

La perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice a pour équatiou

c’est un des axes de la courbe. Un sommet situé cet axe équivaut à deux conditions; on écrira que les deux coordonnées du sommet vérifient les équations (9) et (10).

275 — On peut se rendre compte d’une autre manière des résultats que nous venons d’obtenir. Il est clair que les deux coordonnées d’un point remarquable d’une courbe du second degré, comme le centre, un foyer, un sommet, etc., peuvent être exprimées à l’aide des coefficients de l’équation générale du second degré ; si donc on donne un pareil point, on aura deux relations entre les coefficients. De même, les deux coefficients de l’équation d’une droite remarquable, comme la directrice ou un axe, etc., peuveut être exprimés à l’aide des

coefficients de l’équation du second degré; si cette droite est donnée, on aura encore deux relations entre les coefficients.

CONSTRUIRE UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ, CONNAISSANT LE FOYER ET TROIS POINTS.

279 — Pour montrer une application de ce qui précède, proposons-nous de construire une courbe du second degré,

connaissant un foyer F et trois points A, B, C (ûg. 159). Le problème admet plusieurs solutions.

Supposons le problème résolu et les trois points appartenant à une même branche; le point D où la sécante AB est coupée par la bissectrice de l’angle extérieur au triangle AFB appartient à la directrice (nu257); la sécante BC donnera de même un second point IT de la directrice. Le foyer F, la directrice DIT et le point A définissent une courbe du second degré et une seule; ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la distance AF sera inférieure, égale ou supérieure à la distance AE du point A à la directrice. (1 est facile de voir que celte courbe passera par les deux points BetC; en effet, à cause de la bissectrice FD, on a