LIV. IVjCHAP.I. — COURBES EN COORDONNÉES RECUL

seulement la comparaison d'une valeur particulière de l’ordonnée avec les ordonnées voisines.

En général la dérivée, restant finie et continue, change de signe en passant par zéro, et par conséquent les tangentes aux points dont les ordonnées ont des valeurs maxima et minima sont parallèles à l’axe OX. Il faut remarquer que toute valeur de x qui annule la dérivée ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum de l’ordonnée; on devra examiner si la dérivée change effectivement de signe ; mais, dans tous les cas, la tangente est parallèle à l’axe OX.

Nous allons appliquer ces principes à quelques exemples.

299 — Exemple I. Construire la courbe

Portons sur l’axe OX et dans le sens OX (flg. 162) une longueur OA égale à 3, et en sens contraire une longueur OB égale à l’unité; la courbe coupe l’axe OX en trois points B, O, A. Pour chaque valeur réelle de x, on a une valeur réelle de y et une seule. L’équation montre immédiatement que lorsque x croit de — « à — 1, y croît constamment de — oo à 0; quand x varie de — 1 à 0 , l'ordonnée est positive, mais la formule n’indique pas comment elle varie ; x croissant de 0 à 3 , y devient négative, et il y a encore incertitude sur le sens de la variation ; enfin, quand x croît de 3 à l’infini, y croît constamment de 0 à l'infini.

Pour déterminer le sens des variations de y, lorsque x varie de — i à + 3, prenons la dérivée, on a y1 = 3 x* — \x — 3.

Cette dérivée s’annule pour les deux valeurs

bk. 17

Lorsque x varie de — 1 à x, la dérivée est positive, la fonction continue à croître; de x, à x, , la dérivée est négative, la fonction décroît, pour croître ensuite de x,à3. L’abscisse x, donne une ordonnée maximum Diy=0,88, et l’abscisse x, une ordonnée minimum — EE'= — 6,06.

297— Exemple IL La stropboïde définie au n° 31 a pour équation

Quand x varie de 0 à a , la valeur numérique de y augmente constamment de 0 à l’infini; on obtient de la sorte les deux branches infinies OM, OM' asymptotes à la droite HH' (flg.22). Quand x varie de — a à 0, l’ordonnée y part de 0 pour revenir à 0, en conservant des valeurs ünies; elle commence donc par croître pour décroître ensuite, et, par conséquent, elle passe par un maximum; mais on ne voit pas si dans l’intervalle la fonction n’éprouve pas plusieurs alternatives de croissance et de décroissance. La valeur positive dey a pour dérivée

x' — ax — a”

Le numérateur s’annule pour deux valeurs de x, l’une négative x„ l’autre possilive x,. Quand x varie de — a à x„ la dérivée est positive, la fonction croît; de xt à 0 la dérivée est négative, et la fonction décroît. L’ordonnée est maximum pour la valeur

plus grande numériquement que

298— On détermine souvent la tangente en certains points