LIV. IV, CHAP. III.— ASYMPTOTES

l’angle p est nul, c’cst-à-dirc quand l’asymptote esl parallèle à l'axe des y. Dans ce cas, si l’on mène lu droite MR (fig. 176) parallèle à l'axe OX , la droite MR tend vers zéro, quand le point M s’éloigne à l’infini, ï c’est-à-dire quand l’ordonnée croit indéfini- Fig. 17». ment. Si l’on appelle a l'abscisse qui fixe la position de la droite CD, l’abscisse d’un point M de la branche MN tend vers a quand y augmente indéfiniment, ou, inversement y croit au delà de toute limite, lorsque x tend vers a.

ASYMPTOTES PARALLÈLES A LAVE DES ty.

310— D’après ce qui précède, on obtiendra les asymptotes de cette espèce en cherchant les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Lorsque l’équation de la courbe est résolue par rapport à y, on obtient en général immédiatement ces valeurs à l’inspection de’ la valeur de y. Nous pouvons citer comme exemples la cissoïde et la strophoïde , construites aux nos28el31. Quand l’équation de la courbe est algébrique, mais non résolue par rapport à y, on obtient les asymptotes de la manière suivante. Soit tn le degré de l’équation, n le plus haut exposant de y, on peut écrire l’équation sous la forme

<p(*)r ++(*)»■** +x(*)jr*-f- mm=o,

?> h — • désignant des polynômes en x , de degrés au plus

égaux à m — n, m— n+l, m— n+2, ..,.,et, après avoir divisé

par y",

Si, lorsque y augmente indéfiniment, x tend vers une limite finie a, pour un couple de valeurs dans lequel y est très-grand et x voisin de a , tous les termes, à partir du second, étant très-petits; on en conclut que l’abscisse a doit annuler le premier terme. Ainsi les asymptotes parallèles à l’axe des y sont déterminées par les racines réelles de l’équation

(2) <?(ar)=0. .

Lorsque x tend vers a, l’une au moins des » valeurs de

données par l’équation (1), tend vers zéro, puisque le produit des racines est très-petit. Si a annule <p(x) sans annuler <j/(x),

une seule des valeurs de — tend vers zéro, et celte valeur est

nécessairement réelle ; car les racines imaginaires étant deux à deux conjuguées, quand l’une d’elles tend vers zéro, il

en est de même de la seconde. La valeur de - considérée

changera ou ne changera par de signe, quand x passera par a, suivant que a sera racine d’ordre impair ou d’ordre pairdel’équation (2); la droite indéfinie sera toujours asymptote à deux branches de courbe correspondant, l'une à des valeurs de x plus petites que a, l’autre à des valeurs plus grandes. Mais lorsque ^(x) devient nul en même temps que ce raisonnement n’est plus applicable ; il peut y avoir un nombre pair

de valeurs imaginaires de - qui tendent vers zéro, lorsque x

s’approche de a et la droite peut n’êlre asymptote d’aucune branche réelle ; ce cas demanderait une discussion plus approfondie.

317— Exemple I. — Soit la courbe définie par l’équation

x'y'-{-(x* — 4)(y — .r)‘ = 0, qui, ordonnée, s’écrit

(1 ) (x ‘-f x 4) y * — 4 x ( x ’ — 4) y ’-f 6x’ (x ' — 4) y'—ix* (x*— 4) y -f-x‘(x*— 4) = 0.

L’équation bicarrée

a deux racines réelles simples égales et de signes contraires

Comme les valeurs de x n’annulent pas <l>(x), chacune des droitesx=±a est asymptote de deuxbranchcs situées, l’une du côté des y positifs, l’autre du côté des y négatifs, et de part et d’autre de la courbe.

318— Exemple II. — Soit la courbe