ASYMPTOTES

3 €5— Considérons une bran che infinie, asymptote à la droite CD j si l’on joint le pôle à un point M de la courbe, et si l’on suppose que le point M s’éloigne indéfiniment sur la courbe, la direction OM aura pour limite la direction OLde l’asymptote.

Ainsi, lorsque le rayon vecteur p devient infini pour une valeur particulière * de o), si la branche infinie ainsi obtenue a une asymptote, cette asymptote est parallèle à la direction déterminée par l’anyle a qui rend p infini.

Pour avoir la distance OC de l’asymptote à la droite OL, du point M Flg ,95, de la courbe abaissons une perpendi-

culaire MK à celle droite ; le triangle rectangle MOK donne MK = MO sin K0M= p sin (a — <o).

Si le produit psi» (a — t») ne tend vers aucune limite, la branche infinie n’a pas d’asymptote. Si, au contraire, ce produit tend vers une limite finie d, la branche de courbe admet pour asymptote la droite CD, située à la distance d du rayon OL ; car la distance MK ayant pour limite d, la distance MH aura pour limite zéro.

Lorsqu’on obtient la branche infinie en faisant croître <» vers o, il est évident que , si cette branche a une asymptote, l’asymptote sera placée par rapport à OL, comme l’indique la figure. Si l’on obtenait la branche infinie en faisant diminuer o» vers a, l’asymptote serait placée de l’autre côté de OL et sa distance àOL serait la limite du produit p sin (<•> — a).

Nous avons supposé la branche de courbe donnée par un rayon vecteur positif; si elle était donnée par un rayon vecteur négatif, on aurait, dans le premier cas MK= — pstn(a — w), dans le second MK = — p sin (u> — a).

346 — Exemple VI. — Construire la courbe

cos 2 oj

P=-— sin «o —

11 est d’abord évident qu’il suffit de faire varier u> de üà 2*. Lorsque w augmente de *, on obtient une direction opposée à la première, le numérateur de p ne change pas, le dénominateur

LIV. IV, CHAP. IV . — COURBES EN COORDON. POLAIRES. 305 change de signe en conservant la même valeur, donc p change de signe et conserve la même valeur numérique ; il en résulte que la valeur »+« de u» donne le même point que la valeur a • il suffit donc de faire variera» de 0 à Cherchons les valeurs de'o», comprises entre ces limites pour lesquelles p change de signe Le numérateur s’annule et change de signe pour les valeurs

<U — <0 — *e divi-

seur s’annule et change

de signe pour w=-. Dis-

posons ces angles par ordre de grandeur, on a la