ÉQUATION DU PLAN

415 — Réciproquement, tout plan est représenté par une équation du premier degré entre les variables x, y, z. Car lorsque le plan est parallèle à l’un des plans coordonnés, XOY par exemple, si l’on appelle c la coordonnée z du point où il rencontre l'axe OZ, son équation est z=c. En second lieu, si le plan est seulement parallèle à l’un des axes , OZ par exemple, sa trace sur le plan XOY a une équation de la forme Ax+By-f-D=0; celle-ci représente, dans l’espace, le plan donné.

Enlin , supposons que le plan ne soit parallèle à aucun des axes ; soient

z=ax+'(, z—by

les équations de ses traces PR et QR sur les plans XOZ et YOZ. On peut disposer des coefticients de l’équation (1) A-r+Bt, + C=-|-D = 0,

de manière que le plan qu’elle représente coïncide avec le plan proposé. En effet, les traces du plan représenté par l’équation (1) sur les plans XOZ et YOZ ont pour équations A.r -|- C z -|- 1) — 0, Bÿ -j- C z -j- 1 1 — 0,

elles coïncideront avec les traces FR, QR du plan proposé, si l’on a

A= — Co, B=— C b, D = — Cf.

L’équalion (1), dans laquelle on substitue les valeurs précédentes, devient, après la suppression du facteur C,

z — ax — by — y=0-

CONDITIONS l’OCR yLE DEUX PLANS SOIENT PARALLÈLES.

410 — Soient

Ax -j- By -j-Cs -f D=U,

les équations de deux plans. Pour que ces plans soient parallèles, il est nécessaire et il suffit que leurs traces sur deux des plans coordonnés soient respectivement parallèles. Les traces sur le plan XOZ ont pour équations

Ax -j" C z -f* D= 0 ,

ces deux droites seront parallèles, si elles ont le même coefti-

cient angulaire, ce qui donne la condition — — = — — , , ou

A C A' C' lions

De même les traces sur le plan YOZ ont pour équa-

By + C3 + D=0,

elles seront parallèles, si l’on a ... — •

Ainsi, pour que les deux plans soient parallèles, il faut que l’on ait

c’est-a-dire que les coefficients de x.

y, s soient proportionnels.