PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES

548 — Le plan diamétral conjugué de la direction

a pour équation

il est parallèle à l'axe. Lorsque les droites deviennent parai

lèles à l’axe, elles ne rencontrent la surface qu’en un point, et le plan diamétral s’éloigne à l’infini. Une droite parallèle à l’un des deux plans AOX, BOX ne rencontre aussi la surface qu’en un point; car le plan, mené par cette droite parallèlement à l’un de ces deux plans, coupe la surface suivant une droite. Si l’on considère une série de droites parallèles au plan AOX, mais non parallèles à l’axe, l’équation du plan diamétral représente un plan parallèle à l’axe et passant par celle des droites qui est située sur la surface.

Tout plan parallèle à l’axe est un plan diamétral, excepté lorsque ce plan est parallèle à l’un des plans AOX, BOX.

On verrait, comme pour le paraboloïde elliptique, que le diamètre, ou le lieu des centres d’une série de sections parallèles, est une droite parallèle à l’axe.

549— Si l’on prend pour origine des coordonnées un point quelconque M de la surface, pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, pour plan des xy un plan quelconque mené par la droite MX, pour axe des y la tangente à la parabole au point M, et pour axe des z une parallèle à la direction conjuguée du plan XMY, l’équation de la surface prendra la forme

y' a* lp' ~ îq[ ~X‘

Ceci nous permet de compléter l’étude des sections planes; le plan YMZ coupc la surface suivant deux droites ; les plans parallèles à ce plan coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques, |mais dont la disposition change suivant que le plan sécant est d’un côté ou de l’autre du plan YMZ. Si l’on prenait pour axes des y et des z les deux droites qui passent par le point M, l’équation de la surface se réduirait à la forme y z — kx.