LIV. III, CHAI*. II.— CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES
DIAMETRES.
Fig. 69.
189 — Si Ton coupe une courbe du second degré par une série de droites parallèles, le lieu des points milieux 1 des cordes MM' terminées aux deux points de rencontre est un diamètre de la courbe. Soit m le coefficient angulaire des cordes, et (1) f{x,y) = \x'+Kxy + Cy' + Di + Ey-f F=0 l’équation de la courbe. Si Ton transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire 1 du plan, ayant pour coordonnées a et 6, l’équation de la courbe devient In» 126)
(2) \*'+Bx‘y'+Cy''+r.(a,b)x‘+n(a, b)y'+f(a,b)=0. Menons actuellement par l’origine I une parallèle MM' à lu direction donnée, l’équation de cette paralèlle est (3) y,=mxl.
On obtient l’cquation qui donne les abscisses des points de rencontre en éliminant y' entre les équations (2) et (3), ce qui conduit à l’équation du second degré (4) [A 4 Rm-J-Cm’] a^! [f„ (a, 6)4-/], (o, 6) m] x/+f(a, b) = 0. Pour que l’origine I soit le milieu de la corde MM' (fig. 69), il faut que l’équation précédente ait ses racines égales et de signes contraires, c’est-à-dire que a et 6 vérifient la relation (2 A a 4- B6 4- D) 4~ (Ru -|~2C 64- E) ih— 0 ; cette relation devant être satisfaite par les coordonnées du point milieu de Tune quelconque des cordes considérées est l’équation du diamètre. Si Ton y remplace les coordonnées variables o et 6 par x et y, elle s’écrit
(5) (2Ax + By4-D)4-(Bx + 2Cy4-E)m=:0, ou
f*(x, y) +mf*(x, y)=o.
L’équation (5) étant du premier degré, on en conclut que le diamètre correspondant à une série quelconque de cordes bk. R
parallèles est une droite DDL Si l’on appelle m1 le coefficient
angulaire du diamètre, on a la relation
(ü) m — — B + 2Cm •
130 — Remarque I. La direction du diamètre varie en général avec celle des cordes ; cependant lorsqu’on a
T = lc B’-4AC=s0'
c’est-à-dire lorsque la courbe est une parabole, la valeur de
JJ
m' est constante et égale à — — . Ainsi tous les diamètres de
la parabole sont parallèles entre eux.
131 — Remarque IL Si le nombre donné m vérifiait la relation
(7) A + Bm + Cm*=0,
d’où
j/B* — 4AC
l’équation (4) s’abaisserait au premier degré; chacune des droites parallèles à la direction donnée ne couperait la courbe qu’en un point, et il n’y aurait pas lieu de chercher le diamètre correspondant à cette direction. Dans le cas de l’hyperbole, les racines de l’équation (7) donnent les directions des asymptotes; dans le cas de la parabole, l’équation (7) a ses racines égales et la valeur de m est le coefficient angulaire commun à tous les diamètres ; enfin, dans le cas de l’ellipse, la condition (7) n’est jamais vérifiée.
133 — Remarque 111. Les valeurs x et y qui satisfont aux équations simultanées
2A* + Bÿ + D=0,
Bx + 2C?/ + E=0,
vérifient l’équation (5) quelle que soit la valeur de m; donc, si le lieu a un centre unique, tous les diamètres passent par le
L1V. Hl, CHAI*. II.— CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES. 1 la centre, et, s’il en a une infinité, tous les diamètres se confondent avec le lieu des centres.
Les deux équations qui déterminent le centre représentent deux diamètres; le premier correspond aux cordes parallèles à l’axe des x, le second aux cordes parallèles à l’axe des y.
433 — Remarque IV. Dans le cas de l’ellipse et de l’hyperbole, toute droite menée par le centre est un diamètre; car on peut disposer de m de manière que le coefficient m' , donné par la formule (6), ail une valeur quelconque. Cependant, si la valeur obtenue pour m se réduisait à l'une des racines de l’équation (7), elle ne serait pas admissible, puisque les droites correspondantes ne donnent pas de diamètres; mais alors la valeur de m1 est égale à celle de m; elle correspond à l’une des asymptotes.
