j-cosa
Au moyen de cette formule , on pourra calculer la tangente de ta moitié d’un arc dont on connaîtra le cosinus , et si cet arc n’est pas donné , le problème aura deux solutions , comme il était facile de le prévoir. En effet, la formule demandée devant exprimer la tangente de la moitié de l’arc a en fonction de la quantité cos a, donnera la tangente de la moitié de tous les ares qui ont pour cosinus la grandeur donnée costf ; mais tous ces arcs sont compris dans la formule (2Air±«) ; donc la formule cherchée déterminera (23)
tang (kr. ± 0 = dh tang ^ ;
donc elle doit donner deux valeurs égales et de signes contraires.
Mais si l’arc a est donné, la tangente de sa moitié ne pourra avoir qu’une valeur, et la considération du quadran
dans lequel sc trouvera l’extrémité de l’arc indiquera s’il
faut prendre dans la formule [33] le signe supérieur ou le signe inférieur.
39. Problème. Étant donné le cosinus d’un arc , trouver le sinus et le cosinus de sa moitié.
Les formules
sin^=±^ ^2(1 — cosa) [34],
cos"=±^ v'2(l cos «) [35],
qui résolvent ce problème , résultent immédiatement des équations [21] et [22]. Elles nous indiquent que, si l’arc a n’est pas donné , la question a deux solutions. On devra répéter ici la discussion du n° 38.
Ces formules conduisent à la construction géométrique que l’on emploie pour partager un arc en deux parties égales. Rétablissons, en effet, le rayon (27) dans la formule [34], par exemple, ce qui donnera
sinj=±5 V2R(R — cosa),
et supposons que l’arc à partager soit AA'B : son cosinus est Fig. 8. —OP, de sorte que la formule deviendra
sin^=±| y^AA'.AP.
Mais y AA'. AP est une moyenne proportionnelle entre AA' et AP ; donc sin - = - AB ; si donc on abaisse de O une perpendiculaire KOK' sur AB, on aura sin~=AI; or, AI est
le sinus commun des arcs AK et AK', et comme la moitié de AA'B doit avoir son sinus positif, il s’ensuit que cette moitié est AK.
40. Problème. Etant donné le sinus d’un arc, trouver le sinus et le cosinus de sa moitié.
On sait que cos«=±v/l — sinVi; donc, en substituant cette valeur dans les formules [34] et [35], on aura les équations
sin =± ^ — sinVv)
et cos3=±|y/2(1±v^1 — sin'/i),
qui seront la réponse à la question. Toutefois on peut les simplifier en leur appliquant la formule
v/ÏÏTÏ = y/î±^3 ± V^=^,
qui sert à calculer, au moyen de deux racines carrées séparées, la racine carrée d’une quantité qui est en partie rationnelle et en partie irrationnelle du second degré (/Hg., 227). On posera doncA=2, B==4 (1 — sin’a), ce qui donnera A* — B=4 sin’a, et par suite
sin ^ =dt i (v/l-(-sin« =p \J} — sin«),
coS“ =± i (^-|-[-sinrt± y ï— -sina).
On parvient directement à ces formules et d’une manière plus simple, ainsi qu’il suit :
On a entre les deux inconnues sin 3, cos 3 et la quantité donnée sin a, les deux équations
sina=2sin-cos*, 1 ==sin*--4-cos 5.
Si l’on combine ces deux équations par voie d’addition, le second membre de l’équation résultante sera le carré de
^sin 5 -[- cos 3^, de sorte qu’en extrayait la racine carrée du
premier, on aura
zt y 1 —J— sin a =sin - -|-cos
On connaît donc la somme ztvT-j-sinâ des deux inconnues et leur produit - sin a; donc elles sont racines de la
FONCTIONS CIltCDLMBES.
double équation du second degré
x'zp si 1 -)-siqa sma=0 [*];
or, on en tire
et de ces quatre valeurs chacune appartient également à sin 5 et à cos - ; car il n’y a pas de raison pour regarder l’une
d’elles comme la valeur desin ^ plutôt que celle de cos à cause
de la symétrie des équations proposées : seulement il faudra grouper ces valeurs de manière que le premier radical ait les mêmes signes dans les valeurs de ces inconnues, et que le second y ait des signes contraires, puisque chaque groupe doit représenter les deux racines de l’une ou de l’autre des équations [a]. On aura donc
formules dans lesquelles les signes du même radical se correspondent.
Le problème a, comme on voit, quatre solutions, et c’est ce qu’on pouvait prévoir. En effet, la première des formules
cherchées, par exemple, devant exprimer la valeur de sin^ en
fonction de sin a, déterminera le sinus de la moitié de chacun des arcs qui ont pour sinus la grandeur donnée sin a; or, tous ces arcs sont compris dans les formules ‘Ikn-iç-a, et (2Æ-[~1)t: — -a, donc cette formule fera connaître le* valeurs de
sin =±*in^, et de sin — 0 =±cos|;
ainsi elle aura quatre valeurs, savoir, rfcsin^ et rfccos^,
égales deux à deux et de signes contraires.
Si l’arc a est donné , on sent qu’une seule des valeurs comprises dans chacune des deux formules [36] pourra convenir
rfcy't -|-sinrt± — sin a
au sinus ou au cosinus de l’arc ‘4; mais comment la distin-
guer ? On verra facilement si l’arc ~ doit avoir son sinus positif
ou négatif, en le transformant en un multiple de la demi-circonférence, augmenté ou diminué d’un arc moindre que 90° (20); supposons, par exemple, que ce sinus doive être positif, alors on rejettera les deux valeurs négatives , et comme des deux autres valeurs l’une doit être le sinus de
5 et l’autre dr cos il ne s’agira, pour lever la difficulté,
que d’examiner laquelle de ces deux lignes a la plus grande valeur absolue , ce qui sera facile , puisque nous avons déterminé un arc moindre que 90°, dont le sinus et le cosinus sont
égaux en valeur absolue au sinus et au cosinus de l’arc 5 ( 1 5
et 16), et que dans le premier quadran le sinus d’un arc moindre que 45° est plus petit que son cosinus, tandis que c’est le contraire si cet arc est plus grand que 45°. Si , par
exemple, on nous dit que le sinus de 1G50° est égal à et
qu’on demande le sinus de 825°, on verra d’abord que 825° valent cinq demi-circonférences — 75*, et qu’ainsi le sinus de 825° est positif et égal à celui de 75°; or, cet arc étant plus ■grand que 45°, son sinus est plus grand que son cosinus; donc
sin825°= |(y/1+V/i)’
et cos 825°=— |(y/| — V^J)*
41. Problème. Etant donné le sinus d’un arc, calculer le sinus du tiers de cet arc.
On résoudra ce problème en cherchant une relation entre le sinus d’un arc et celui du tiers de cet arc. Faisons donc £>=2«, dans la formule [13] , et il viendra
sin3«=sinrt cos2«-}-sin2rt cosa;
mais sin2a=2sin« cosa et cos2« = 1 — 2sin'y/;
donc sin3tf— sin« — 2sin*a-j-2sina cos*«,
ou en remplaçant cos!« par (1 — sin’a) , et réduisant
sin3fl=3sin« — 4sin3« [37],
formule qui donne le sinus du triple d'un arc en fonction .du sinus de cet arc.
Changeons a en ^ , cette formule deviendra, après avoir transposé et divisé tous ses termes par 4 ,
sin3^ — |sin--}-^sina=0 [38],
ou, en remplaçant , pour abréger, sin^ par .c, et sina par b,
Ainsi, en résolvant cette équation, on obtiendra trois valeurs
pour l’inconnue sin^, de sorte que la question a trois solutions,
si les trois racines sont réelles.
Pour nous en rendre compte, nous répéterons ici les raisonnements des nOT 58 et 40, et nous verrons que cette équation doit avoir pour racines les sinus de tous les arcs compris dans les formules
2 Att | a (2/ — j— 1 )ir a
~3 l~3 ct 3 3‘
Or, le nombre entier k est de la forme (3n-{-/y) , n étant un nombre positif ou négatif, et H un nombre entier positif moindre que 3 ; on a donc
. /SAtt , n\ -In i 2l'ic . a\ . /2A'ir . a\ sm (—+3) =s,n (2"*+— +3) =sm (—+3)»
- *}=— («-"+TT+S— ÿ>
. /Ufat 1 it «\
==Sin \3 t~3 3/
Ainsi, en faisant successivement h!=0, =1, =2, on verra que les sinus de tous les arcs déterminés par l’équation [39], reviennent à ceux des six arcs
3’ ¥'3’ H > 33 ■k a a Stc a
Or, nous savons que deux arcs ont le même sinus lorsque leur
30 THIUONOMÉTBIE.
somme fait un multiple impair de la demi - circonférence ; donc les ares \ et (*— |), (j+5) et (5—5), (y +5)
et ^ ont leurs sinus égaux, de sorte que l’équation [39]
. , . . . a 2ir , a 4ir , a
a pour racines les sinus des trois arcs g, y-j-j, 'jfT’S’ aunsi
ses trois racines sont réelles et généralement inégales*.
Si l’on veut déterminer trigonométriquement quels sont les signes des racines de l’équation [39], on distinguera deux cas, selon que b sera )> 0 ou <0.
\ 0 Si b > 0, le plus petit de tous les arcs positifs qui auront
b pour sinus sera < 5 , de sorte que , a représentant ce plus
petit arc, on aura
a^it o . 2jt - S* a . 4it^3jr.
ainsi l’équation aura deux racines positives et une négative. On voit d’ailleurs que sin^ étant égal à ^(6)sing-<^ et que
. /oc I 2tc\ i . 81c • rr\
S1“ \3~^ îf / > 2’ C3r sm-6=sin6(13>
2° Si £<0, a sera >7r et <Cy, de sorte qu’on aura
ST
3 Tnt ^ 6
. frit
3 ^ih\ 6 '
oc |
3"rT
* Et, en effet, la'condition 4/j3-j-27i/’<^0 est satisfaite [A/g., 482) ; car elle revient ici à 4* — 1 < 0 ; ce qui est vrai , puisque b est un sinus. On peut dire encore 1 si 4]> 0, æ=0 donnera un résultat positif et
donnera — donc l'cquation a deux racines positives
l’une plus petite et l’autre plus grande que et comme elle en a une
négative, il s’ensuit que ses trois racines sont réelles. On verrait de même que si 4<0, l’équation a deux racines réelles négatives, l’une
plus petite que - et l’autre plus grande. Il suffira, pour cela, de changer x en — x dans l’équation [39].
Ai nsi le sinus du premier de nos trois arcs est positif et ceux des deux autres sont négatifs, de sorte que l’équation [39] a alors
une racine positive et deux négatives. Comme sin-^ et sin^
sont égaux en valeur absolue à sin?], on voit que, dans le cas de ô< 0, les deux racines négatives sont l’une plus petite et l’autre plus grande que
Si l’arc a n’est pas donné, il n’y aura pas de raison pour prendre l’une des racines de l’équation [39] plutôt qu’une autre pour réponse à la question, et le problème aura trois solutions.
Si l’arc a est donné , il s’agit de reconnaître parmi les trois racines de l’équation [39] celle qui est le sinus de Pour cela,
on ramènera l’arc ^ au premier quadran (20), et on trouvera
ainsi que sin ^ est égal à rbsina, a étant <90“. Si b >0 et
que sin " =— sin «, il faudra prendre pour la valeur de sin ^
la racine négative de l’équation [39]; mats si sin|=-j-sina, alors la valeur cherchée sera l’une des deux racines positives. On ramènera pareillement les arcs et au pre-
mier quadran , et si l’on trouve, par exemple, que sin (y-f-0 =— f— sin p, p étant < 90°, on prendra pour la
valeur cherchée la plus petite ou la plus grande des deux racines positives, selon que a sera < ou > p. On agirait de même si b était négatif.
Supposons, par exemple, quen=1G35°; on verra facilement que sin«=sin(9ir +\ 5°)<0, et qu’ainsi l’équation [39] a une racine positive et deux racines négatives. On trouvera ensuite que sin^ = — sin 5°, sin = — sin 60",
etqti’en conséquence la valeur de sin — 3 ' - est la plus petite des deux racines négatives.
THÏG«**MÉTRIE.
Fig. 9. Si ABC est l’arc donné a , et qu’on veuille le diviser en trois parties égales, on n'aura qu’à mènera AA' une parallèle qui en soit éloignée d’une quantité égale à la plus grande des deux racines positives de l’équation [39] , et la portion AM de ABC comprise entre cette parallèle et le point A sera le tiers de cet arc.
42. Les trois racines de l’équation [39] jouissent de cette propriété remarquable, que leur somme algébrique est nulle*. Il est facile de le vérifier en observant que
sin (y +i)+sin (t+I) =2sin (7:+?)cos3-
=-2sini4=~sini’
et qu’ ainsi sin ^ -f-sin (y “fy) -f*sln (y 4" i) ==
On peut aussi le démontrer par des considérations géométriques.
En effet, les extrémités M, M', M", des trois arcs AM=5, AM'=^-[-^, AM"=^-4-^, déterminent les som-
mets d’un triangle équilatéral ; si donc on joint le sommet M" au milieu N de MM', on aura OM"=20N; doncM"P, sinus de l’arc AA'M", est double de la perpendiculaire NQ, menée du point N sur le diamètre AA'; mais celle-ci est la demisomme des sinus des arcs AM et AM' ; donc la proposition est démontrée.
43. Nous avons dit que les trois racines de l’équation [39] sont généralement inégales. Examinons quelle hypothèse on doit faire sur sina, pour que cette équation ait deux racines égales. Pour qu’il en soit ainsi, il faut que les sinus de
deux des trois arcs y -f~q soient égaux, et qu’en
conséquence la différence de deux de ces arcs soit un multiple pair de la demi-circonférence, ou que leur somme en soit un multiple impair. Or, les trois arcs dont il s’agit ne peuvent satisfaire à la première de ces conditions : pour qu’ils
* On sait , en effet , que quand une équation manque de son second terme , la somme de ses racines est nulle {^lg-, 437).
vérifient Ja seconde, il faut que l’on ait
Ç+Ç=(2A+1K d’où «=(6A+|)=î
ou y + y=(2A-+1)ir, d’où a=(6k— \)\\
ou encore y -j- y =(2X-{-1 ) ir, d'où a=(Gk — 3)^'.
Or, tout nombre impair est de la forme (6X" — }— 1 ) , (64 — \) ou (64 — 3}; car, si on le divise par 6, on ne peut avoir pour reste que \ , 3 ou 5. Donc, pour que l’équation [39J ait deux racines égales, il faut et il suffit que l’arc a soit un multiple impair du quadran, ou, en d’autres termes, que sin a=± 1 *.
44. Problème. Étant donné le cosinus d'un arc , calculer le cosinus du tiers de cet arc.
En raisonnant comme au n“ 41 , on trouvera d’abord
puis
cos 3«=4 cos’ a — 3 cos a [40],
cos g — Jcos3 — 4 cos « = 0 [41 J.
La discussion de cette formule sera tout à fait la même que celle de l’équation [38].
4o. Il sera facile, en imitant la marche que nous avons suivie au n° 41 , d’exprimer sin^, cos^, sinÇ, cos y,.... en fonction de sin a ou de cos a. Mais on peut obtenir une équation qui donne généralement la valeur de sin — ou de
cos— en fonction de sin a ou de cos a. Le moyen de parvenir à cette équation se déduit d’un théorème très-important dû au géomètre français Moivre, dont il a reçu le noin.
* En effet, l’équation [39] devient ainsi x5 — -x±-=0. Or, on re-
connaît immédiatement qu'elle a pour racine rp 1 ; donc son premier membre est divisible par (xrbl). Le quotient de cette division est
x*q^x-)- ( xqr-j . Ainsi, outre la racine qpt, elle en a encore deux autres qui sont égales à ±
Nous allons d’abord faire connaître et l’énoncé et la démonstration de ce théorème.
*46. Soient les deux expressions
cos a + V-1 sina et cos4-|-y/ — 1 sin4 : multiplions-les entre elles, et nous trouverons (cosaeosi — sinrtsin£)-j- y/ — 1 (cosasin£-|-sinacos£). Donc, en vertu des formules [13] et [14],
(cosa-(- y — 1 sina) (cos4-{- \J — 1 sin£)
=* cos (a -]-£)-[- y/ — 1 sin(a-[-4).
Ainsi le produit de deux facteurs de la fornie(cosa-j-V — 1 sina) est de même forme que chacun de ces facteurs, et s’obtient en remplaçant dans l’un d’eux l’arc qui y entre par la somme des deux arcs que l’on considère. Il suit de là que le produit des trois facteurs (cosa-|-y/ — 1 sina), (cos£-|- y/— d sin b) et (cosc—j— y — I sine) sera
cos (a b— J— c) y/ — 1 sin (fit— b — |— c),
et ainsi de suite. Par conséquent, si on veut élever le binôme (cosrt -|- y' — 1 sin a) à la puissance m , ce qui revient à faire le produit de m facteurs égaux à ce binôme, il suffira d’y remplacer a par ma, ce qui donnera
(cos a-]- y/ — 1 sin a)m — cos ma y/ — 1 sin ma [42].
Telle est la formule connue sous le nom de théorème de Moivre. La démonstration que nous venons d’en donner suppose que ni est un nombre entier et positif; mais, comme nous n’aurons besoin de cette formule que dans ce seul cas, nous nous dispenserons de faire voir comment on parvient à en prouver la généralité 661).
*47. Si on développe le premier membre de l’équation [42], par la formule du binôme de Newton, et que l’on mette y — 1 en facteur commun des quantités qu’il multiplie, on trouvera une équation de la forme
cosaia-j- y/ — 1 sin«ia= A-j-By^ — 1; or, cette équation se partage dans les deux suivantes cos ma = A et sinwa=B;
FONCTIONS CIRCULAMES.
car, comme on en tire
(cos ma — A) = — y/ — 1 (sin ma — B) , on voit que si cos ma n’était pas égal à A , la différence de deux quantités réelles serait imaginaire. Si l’on substitue à A et à B les quantités qu’elles représentent, il viendra enfin *
cos ma = cos a »
- cos a sure
f- — . a 0 ~7 ~ cos « sin a —etc.
sm ma— m cos 'a sin a — -cos asm a i
cosm~5rt sin’a — etc.
Remarquons que l’expression de eos ma ne renfermant que des puissances paires de sina, on pourra en éliminer cette quantité au moyen de la relation sin*a -j- cos’a = 1 , et on aura ainsi la valeur de cos ma en fonction rationnelle de cos fl. Mais on ne pourra pas éliminer cosa de la formule [44] sans y introduire des radicaux, à moins que m ne soit un nombre impair. Si m est pair, comme la formule [43] ne renfermera que des puissances paires de cosa, on pourra remplacer cos ’« par 1 — siu'a, et cos ma se trouvera exprimé en fonction rationnelle de sina.
Si dans les équations [43] et [44], on remplace a par - , on aura des équations du degré m au moy en desquelles on pourra calculer cos£ et sin£. Si m est un nombre pair, on déduira de la première de ces deux équations les valeurs de sin — et de cos — en fonction de cosa. Il est bon toutefois de re-
marquer que l’on pourra se borner au cas de m impair; car, pour trouver, par exemple, le sinus de l’arc on peut commencer par calculer sin^ au moyen de sina (40), et chercher ensuite sin^ en fonction de sin^, à l’aide de la formule [44].
* N’oublions pas que ( y/ — l)** — -f- 1 , ( y/ — 1 )**+l = -f- y/ — T, (y/— — 1 et que(y4ZÎ)**+J=v^Z4 (Alg., «233).
48. En groupant les formules [13] et [15], [14] et [16], on trouve
sin(n = sinn cos4;fcsin4 cos a, cos(a±b)—cos a cos4:qzsina sin4; et si l’on divise ces deux équations membre à membre, il viendra (26)
sin <7cosidbsin *cos a
tang (rt±4) =
cosrtcosiznsin bsina >■ J’
Je divise 1rs deux termes du second membre de cette équation par cos a cos 4, et je trouve, en ayant égard à la formule [8],
tang(»±4)=,,In«îi^f [451.
Dv J i zptangfi tang b L J
Ainsi la tangente de la somme ou de la différence de deux arcs est égale au quotient qu'on obtient en divisant la somme ou ta différence des tangentes de ces arcs par l'unitc diminuée ou augmentée du produit de ces tangentes.
Comme on a obtenu cette formule en divisant les deux termes «lu second membre de l'équation [a] par cos a cos4, on voit que pour ne conserver aucun doute sur la généralité de la formule [45], il faut vérifier qu’elle est vraie lorsque l’une des quantités cos a et cos4 est mille, ou lorsqu’elles le sont toutes deux en même temps.
Or, si cos«=0, il en résultera tanga=» et a=(24-j-1)^ :
en conséquence, on divisera d’abord les deux termes du second membre de l’équation [45] par tanga , ce qui donnera
tang b
tang(a±4) = -
:tang&
et, en faisant rt=(2/i-j-1 dans cette équation, elle se rét \
duira à l’identité rr: > = — 5-; car
“tang* qrtang*’
taug(a±4)==tang(X'w+Jd:4)=S^:ûi^.
Enfin, si on a à la fois cosa = 0 et cos4 = 0 et partant tanga = x et tang4=x , on divisera par tanga tang4 les deux termes du second membre de l’équation [ 45 ] ; et en y
FONCTIONS CIBCOI. AIRES.
supposant ensuite tanga et tang4 infinies, ce second membre se réduira à zéro; mais le premier membre devient alors
tangJ"(2A-j- 1)^±(2/.'-j-1)^J = tangn7T = 0 ; donc cette
équation est encore vérifiée.
49. Si l’on suppose b — a, la première des formules [45] deviendra
tang 2a —
1 — tangVt
équation qui servira a calcule:' Ut tangente du double d' un arc en fonction de ta tangente île cet arc.
30 . Si l’on veut déduire ta tangente de la moitié’ d'un arc de la tangente de cet arc , on changera dans cetlc dernière
formule «en 5, et on tirera facilement, de l’équation résultante, la suivante :
tanga tang*5 -(-2 tang^ — tanga = 0 [47]
Ainsi la question a deux solutions, si l’arc a n’est pas donné. Il sera facile de s’en rendre raison , en répétant ici les raisonnements dont nous avons donné plusieurs exemples, et on reconnaîtra ainsi que, les racines du l’équation [47] étant
tang^ et tang^--]-0 , les sécantes qui correspondent aux deux
racines de cette équation se coupent à angles droits. De plus,
comme tang(j-|-^ =
-co,- = .
tano 3
on verra que le
produit des deux racines de l’équation [47] est — 1.
81. Probu mf,. Calculer la tangente du tiers d'un arc en foni tion de la tangente de cet arc.
Je fais b — 2a dans la première des formules [45], puis je remplace, dans le résultat, tang2aparsa valeur donnée par l’équation [4G], et il viendra, après avoir chassé les dénominateurs ,
o 3tane« — tari”'
tang 3a = — -b — , °- 1 — 3 tan"’«
Si l’on veut vérifier cette formule, il faudra donner à tanga une valeur particulière, qui conduise à une valeur de tang 3a connue d’avance: en conséquence, je suppose
a — 45#, ce qui entraîne tango = 1, et tang3« = — 1. En substituant ces valeurs dans 1 équation [48], elle se réduit à
Maintenant je change a en et, après avoir fait évanouir
le dénominateur et transposé , je trouverai tang*g — 3 tang a tang*^ — 3 tang| -f - tang a — 0 [49],
équation qu’il sera bon de discuter*, et dont la solution conduira aux trois valeurs dont tang ^ est susceptible, si l’arc a n’est pas donné. On trouvera que ses trois racines sont les tangentes des arcs |, îr~Ki’ 9ue Sl tanS *1 y en
a une négative et deux positives, lesquelles sont l’une plus petite que 1 et l'autre > 1 ; niais que si tang a < 0, il y a une racine positive et deux négatives , l’une plus petite et l’autre plus grande que 1 .
Cette remarque fournira le moyen de distinguer quelle est celle des trois racines de l'équation [49] qui sera la tangente
de l’arc lorsque le nombre des degrés de cet arc sera donné.
Il suffira de suivre la marche que nous avons indiquée au
Si l’on suppose « = 45°, l’arc ~ -f-- sera égal à 135°, et
ainsi sa tangente sera — 1 ; donc, on pourra alors achever la résolution de l’équation [49].
52. Applications. I. Calculer par logarithmes les quantités :
sinarfcsini sine 4- cos b , . ,
zr. ri ! î? tango :±: tango;
cosa±cose sina — cos b D ° 7
cotozfccot4; — ; séco zfc coséci.
7 tanga — cotw
II. Etant donné le cosinus d’un arc, calculer le cosinus du quart île cet arc. — La discussion de l’équation d’où dé-
* On reconnaîtra algébriquement qu’elle a ses racines réelles , en y substituant zéro et -j- 1 , si tanga>0; et zéro et — 1, si tanga<[0-
pend la valeur de cos^ et la détermination de ce cosinus,
quand l’arc a est donné, sont tout à fait analogues à ce qui a été fait au n° 40.
