Si l’on divise membre à membre les équations

sin(«— Z») — j— sin(«- — 4)=2sinacos4 ' [23],

sin(a-j-6)— • sin(a~-ô)=2sin4 cosa [24],

il viendra

sin ( a t)-j- sin (a — l ) sin n cos b

■b) sin i cos £<’

; tanga cotô,

sin (« -f* b) — sin (a -

ou, parce que colb= > en vertu des formules [8] et [1 0],

sin (a -j- 4)-}- sin (a — b) tanga

sin(a-f-è) — sin(n — b) tang b

Ainsi la somme des sinus de deux arcs est à leur différence comme la tangente de la demi-somme de ces arcs est à la tangente de leur demi-différence ; car a est la demisomme et b la demi-différence des arcs ( a-\-b ) et (a — b).

On peut donner de ce théorème une démonstration géométrique qui est remarquable par sa simplicité , mais aussi qui est bien moins générale que la précédente. Soient CA —a, Fig. T. CB = A les deux arcs que l’on considère; si par les points A et B nous menons une perpendiculaire AA' et une parallèle BDE au diamètre OC, il est clair que l’arc BA'est la somme des arcs a et b , que BA est leur différence , et que

DA'=sina-|-sin4, DA=sina — sin£.

Or, si l’on joint EA et EA', les angles A'EB et AEB auront respectivement pour mesures et - . Il faut donc

construire les tangentes de ces angles. Pour cela, je décris du point E, comme centre et avec le rayon du cercle donné, un arc de circonférence FGF : l’angle A'EB aura GF pour mesure, et celle de AEB sera GF; donc GF=^i^-, et

GF="-^— . Si donc on mène la tangente K.K' au point G,

on aura GK.'=tang - ~^-et GK— tang"- — . Mais la droite

EB partage AA' et sa parallèle KK' en parties proportionnelles ; donc

DA' GK' sino-j-sinfc ,anfc g “H')

-DÂ=GK °uh,en sin» — sinl> == i— ’ ’

«aDg|(a— b)