HYPERBOLE. — FOYERS

répétant cette construction, on obtiendra, comme on voit, autant de points que l’on voudra de cette courbe, de sorte qu’en unissant tous les points ainsi déterminés par un trait continu , on tracera très-approximativement l’hyperbole demandée.

On peut encore décrire l'hyperbole d’un mouvement continu de la manière suivante : pour cela, on dispose une règle FL de manière qu elle puisse tourner autour d’un pivot fixé à l’un des foyers F, par exemple. A l’extrémité L de cette règle et à l’autre foyer F' on attache un fil dont la longueur surpasse celle FL de la règle du premier axe 2 a ; on tend ce fil par le moyen d’une pointe à tracer; et enfin on fait glisser cette pointe le long de la règle et de manière que le fil soit toujours tendu; la règle tournera alors autour du foyer F, et la pointe décrira un arc d’hyperbole. En effet, soit M une position de la pointe à tracer; on a par hypothèse LMF=FL-j-2a, d’où en retranchant LM de part et d’autre MF=FM-|-2a, et par conséquent FM — FM=2«.

522. En raisonnant comme au n° 270, on trouvera que l’équation de la courbe décrite par les méthodes que nous venons de donner est

ce — c*)®*- — al(ti' — c*) — 0 .

Or, pour que les arcs qui , par leur intersection , doivent déterminer le point M( x, y) se coupent, il faut que la distance 2c de leurs centres soit plus grande que la différencê 2 a de leurs rayons, c’est-à-dire que c soit plus grand que a. Le coefficient de sd est donc négatif, et le terme indépendant est positif, de sorte que les conditions analytiques

B’— 4AC>0 et AE’— BDE-}-CD,-{-F(B,— 4AC)>0,

par lesquelles nous avons défini l’hyperbole au n° 208 sont remplies. La définition du n° 521 équivaut donc à celle-ci.

525. En effectuant le calcul qui conduit à l’équation précédente , on trouve pour expression des distances des foyers F et F à un même point de l’hyperbole

aN=-~a et à'=-4-« [2];

mais il n’en est pas ici comme dans l’ellipse (271), où les

358 GÉOMÉTRIE ANALTTIQUB.

deux formules correspondantes représentaient également bien la courbe tout entière ; les équations ci-dessus ne construisent que la branche positive de l’hyperbole. Cela tient à ce que, si x est négatif, £ l’est aussi, et à ce que le cercle décrit du point F comme centre avec la valeur de P ne coupe plus l’ordonnée correspondante à cette valeur négative de x. 11 faudra donc employer, pour déterminer l'hyperbole , l’une des équations [2] et l’une des formules

&,=--{ -a et S1—~ — a ‘a 1 1 a

obtenues en considérant un point de la branche négative ; et dans ces dernières les abscisses positives devront être comptées de O vers F.

524. Ixi tangente en un point quelconque (le l'hyperbole partage en deux parties égalés l'angle formé par les rajvns vecteurs tirés des foyers au point de contact; de sorte que la normale est f harmonique conjuguée de la tangente par rapport à ces rayons vecteurs.

11 n’y a de différence entre cette démonstration et celle du n° 272 qu’en ce que l? sera remplacé par — 1/ , et qu’au lieu ^d’avoir

Fig. 92 F MT— T — F et FMT— T — F,

Fig. îoo on aura FMT=F— *T et FMT=T — Ff. ••

On trouver» donc

tangFMT=^7 et tangFMT=^7,

ce qui démontre le théorème.

325. Il suit de là que, si l’on place une lumière au foyer F de la surface engendrée en faisant tourner un arc d’hyperbole autour de son axe transverse, tous les rayons lumineux issus de F se réfléchiront à la rencontre de 1 ' hyperboloïde y suivant des droites dont les prolongements iront concourir à l’autre foyer F; les rayons réfléchis seront donc d'autant moins divergents que les foyers F et F seront plus éloignés. Par conséquent, en construisant un miroir hyperbolique dont les foyers soient situés à une distance assez considérable l'un de l’autre , on pourra éclairer une étendue déterminée à telle distance que l’on voudra.