La formule &=rfc^ zpa^ donne les distances des

deux foyers à un point quelconque de la courbe : ces distances sont essentiellement positives ; mais c et x sont tous deux

plus grands que a, de façon que ^ est numériquement plus

grand que a; donc, si l’on considère un point de la branche positive de l’hyperbole, on devra, dans cette formule, rejeter le signe inférieur qui précède la parenthèse, et ainsi, en appelant S et les distances des foyers F et P à un même point de la branche positive, on aura

a, S'irÆfa; d’où $'—$=2 a. ‘

Mais, si l’on considère un point de la branche négative, il faudra au contraire, rejeter le signe supérieur, et on aura en conséquence

S= — — 4-æ, $'=■ — •— — a, d’où $ — $'=2 a

(c est une grandeur absolue). Donc

Im différence des distances de chaque point d’une hyperbole aux deux foyers est constante et égale à l’axe transverse.

519. Le rapport des distances de chaque point de T hyperbole au foyer et à la directrice est égal à celui de l’excentricité au demi-axe transverse (207), et par conséquent plus grand que l’unité.

520. L’hyperbole jouit exclusivement de la propriété que nous avons énoncée au n“ 518. En effet, considérons deux points L et L', l’un- extérieur et l’autre intérieur à l'hyperbole ; joignons chacun de ces points au foyer dont il est le plus près, et tirons une ligne droite par le point où cette droite coupe la courbe et par l'autre foyer. Nous aurons évidemment

FL<FM+ML et F'L'>FM — ML';

retranchant FL = FM -[-ML des deux membres de la première de ces inégalités, et FL' des deux membres de la se-^ conde, il viendra

FL — FL < FM— MF=2a et FL' — FL' > FM — MF=2a .

Ainsi, la différence des distances des deux foyers à un point situé hors de l’ hyperbole ou dans l'intérieur de cette courbe, est plus petite ou plus grande que l’axe tr ans verse.

521. 11 suit de là, que l’on peut définir t hyperbole une courbe telle que la différence des distances de chacun de ses points à deux points fixes est une quantité constante.

Cette définition fournit la description la plus simple de l’hyperbole, lorsque l’on connaît ses deux foyers et la lon- Fig. 109 gueur de son axe transverse. En effet, si F et F sont ces deux points et 2 a son axe transverse, on portera d’abord sur la droite FF, à partir de son milieu O, deux distances OA et OA' égales à a, et les points A et A' seront les sommets de la courbe. Puis des points F et F, comme centres, avec un » rayon quelconque A'E plus grand que A'F, on décrira quatre arcs de cercle de part et d’autre de AA', et on les coupera ensuite par quatre autres arcs de cercle décrits des mêmes centres et avec un rayon AE égal à la somme faite de Taxe transverse AA' et du premier rayon. Les quatre points M, M', M", M " ainsi obtenus appartiendront à l’hyperbole. En