L’expression de la sous-tangente est

550, La tangente doit passer par un point donné sur Fig. m le plan de l'hyperbole. Solution donnée au n° 279, en se rappelant la méthode indiquée au n° 512, pour déterminer

la longueur du conjugué d’un diamètre non transvei-se, et en

observant que la construction donnée des quantités

x=— et y= — ¥

n’étant pas applicable ici, il faudra construire ces valeurs en cherchant directement une troisième proportionnelle aux droites a et a, et une autre aux droites (ï et b. La fig. \ H représente ces constructions. C est le point donné, KM le diamètre qui divise en deux parties égales une corde quelconque meuée par C, et OY le conjugué de KM. On a mené une tangente ND en N, et OG, moyenne proportionnelle entre OD et OE=NP, est la moitié de ce conjugué.

01 ==-r7^ et OK = ^-, de sorte que IR est la direction

de la corde de contact.

551. Ixi tangente doit être parallèle à une droite Fig. m donnée. Faites la même construction qu’au n° 281. Toute-

fois, il faut observer qu ici le problème ne sera pas possible, s. le diamètre qui joint les milieux des deux cordes parallèles a la droite donnée ne rencontre pas l'hyperbole; mais alors son conjugué, qui est parallèle à cette droite, ira couper la courbe; donc, pour que le problème puisse être résolu, il faut que le diamètre mené parallèlement à la droite donnée ne rencontre pas l’hyperbole, et qu’en conséquence il soit trace hors des angles asymptotiques. Quand il en sera ainsi le problème aura deux solutions, à moins que la droite donnée ne soit parallèle à une des asymptotes, laquelle sera alors la seule solution du problème.

T Cas. L'hyperbole est déterminée par son axe tr ans ver se et ses foyers.

113 552. La tangente doit passer par un point donné sur le

o^q o o "hyperbole. En raisonnant comme on l’a fait au n° 282, on sera conduit à la construction suivante : du point donné C comme centre et avec CF pour rayon décrivez une circonférence que vous couperez par une seconde circonférence décrite du point F comme centre et avec un rayon égal a 2a. Joignez l’un des points d’intersection R avec le * f°}'er F> (et la perpendiculaire abaissée de C sur KF sera tangente a la courbe. On déterminera le point M de contact en tirant F K, et en prolongeant cette droite jusqu’à la rencontre de la tangente. Le problème aura autant de solutions que les deux circonférences auront de points communs.

Si le point C est extérieur à l’hyperbole , la différence de ses distances aux deux foyers est plus petite que l’axe transverse ; ainsi , en le supposant plus près de F que de F ce oui est le cas de la figure, on aura * "

CF — CF<2a(320), d’où CF'<[2a-f-CF.

La distance CF des centres est donc moindre que la somme des rayons, et, comme nous venons de supposer que le rayon CF est moindre que la distance CF des centres, et, à plus forte raison, est moindre que cette distance augmentée de I autre rayon 2 a, il sera prouvé que les deux circonférences se coupent, si nous démontrons que

2«<CF'-f-CF.