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Cela posé, si, en supposant que les points A et F restent fixes, on fait augmenter l’axe 2 a, on trouvera une série d’el-

lipses, dont les ordonnées tendront vers celles de la parabole SAS' représentée par l’équation

y =2 px,

pi r2

puisque les termes — et — convergeront alors vers zéro ; donc

la parabole SAS' est la limite des ellipses qui ont le même sommet A et le même foyer F.

Si l’on construit de même une série d’hyperboles telles que HH' H,H/ ayant A pour sommet et F pour foyer, et dont les centres situés du côté des abscisses négatives s’éloignent de plus en plus de l’origine , on trouvera encore que ces hyperboles ont pour limite la parabole SAS'; on dira en conséquence que la parabole est une ellipse ou une hyjjcrbole dont le grand axe ou l’axe transverse est infini; mais elle n’est pas en même temps l’une et l’autre.

§ II. Du foyer.

553. Considérons l’ellipse AA' dont A et F sont un sommet et un foyer, et supposons que , ces deux points restant fixes, son grand axe 2 a croisse indéfiniment. Le point F ne cessera pas d’être un des foyers de cette ellipse, quel que soit le système d’axes auxquels nous la rapportions, et quelle que soit la grandeur de son axe 2a (265) ; il le sera donc encore à la limite, c’est-à-dire, quand l’ellipse sera devenue une parabole. Or, l’équation de cette parabole est y*=2px , et

la distance invariable AF est égale à donc la parabole a

un foyer situé sur son axe à une distance du sommet égale au quart du paramètre de l’axe.