FOYER

en deux parties égales par une perpendiculaire, on aura l’axe.

Il ne restera plus qu’à prendre une abscisse quelconque OP sur cet axe, tracer une ordonnée PR qui en soit le double et à joindre l’extrémité K de cette ordonnée avec le sommet. La projection sur Taxe du point oii la droite de jonction coupe la parabole sera le foyer F.

337. I>a directrice qui correspond au foyer F de l’ellipse Fig. 125 est située à gauche du sommet A et à une distance du centre

égale à donc sa distance à ce sommet est — — a — — — —,

0 c cc

de sorte que son équation par rapport aux axes AX et AY est

Or, a — c = z, d’où c=a —

en passant à la limite, on trouvera

La directrice de la parabole est donc perpendiculaire à son axe , et le sommet partage en deux parties égales V intervalle compris entre le foyer et la directrice ; ainsi F étant le foyer de la parabole SAS', si l’on prend sur son axe AX une distance AE = AF, et qu’on élève au point E une perpendiculaire 1)0 sur cet axe, on aura la directrice.

358. Il suit immédiatement de là, que cluique point de la parabole est également distant du foyer et de la directrice*, ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu au n" 262.

* Il sera facile, en suivant la même marche qu’aux n0' 264 et 263, d’obtenir tous ces résultats par le calcul; seulement il faudra observer que, si l'on voulait que la distance du foyer à un point (x,>) de la parabole fût une fonction rationnelle de y, l’expression de cette distance étant

o = ±— -(.y*-) -/P), l’équation delà directrice serait alors

c’est-à-dire qu’il n’y aurait pas de directrice ; et, en effet , 0 n’étant pas une fonction du premier degré de j , la définition du foyer (237) ne se

Fig. 29 Or si du point quelconque M(.r, y) de la parabole, on abaisse une perpendiculaire MD sur la directrice, cette droite sera

évidemment égale à donc aussi MF= J'-f-j, résultat

qu’il est important de retenir.

359. La parabole jouit exclusivement de cette dernière propriété; car, si l’on considère deux points quelconques K. et R', l’un extérieur et l’autre intérieur à la parabole, et que de chacun d’eux on abaisse une perpendiculaire sur la directrice, on aura évidemment,

KF > MF— MK = KD et K'F < MF -f-MK'= KT).

Donc tout point extérieur à la parabole est plus près de la directrice que du foyer, et tout point intérieur à cette courbe est au contraire plus éloigné Je la directrice que du foyer.

560. On pourra donc définir la parabole une courbe dont dut (pie point est également distant d'un point et d'une droite fixes. De là résulte un moyen très-simple de décrire une parabole par points. Nous l’avons indiqué au n° 79.

On peut aussi, d’après la même propriété, décrire une parabole par un mouvement continu, lorsque l’on connaît son Fig. 29 foyer et sa directrice. Pour cela, on placera une équerre BCD le long de cette droite ; puis ayant attaché aux points F et C un fil dont la longueur soit exactement égale à DC, on tendra ce fil par le moyen d’une pointe à tracer que l’on appliquera contre le côté DC de l équerre ; en faisant mouvoir cet instrument le long de la directrice, la pointe glissera le long de DC et décrira la parabole. En effet, on aura toujours FM-j-MC=DC, et par conséquent MF=MD.

Nous avons donné, au n° 78, l’équation de la courbe que nous venons de décrire.

561 . Théorème. Le rayon vecteur et le diamètre menés au point de contact sont également inclinés sur la tangente.

Fig. 125 Si l’on se reporte, en effet, à la fig. 125, on verra qu’à mesure que le grand axe AA' augmentera, l’angle MF' A diminuera, mais que les angles FMT et F'MT', formés par la

trouve plus satisfaite ; on ne peut donc plus dire que le point oj

est un foyer, et aussi les raisonnements du n° 288 ne sont plus applicables ici.'