CHAPITRE III
CONSTRUCTION DUS TAItl.ES TRIGOXOM6tRIQ('ES.
53. Une table TRiGON'OMÉTRiQtrE est un tableau à cinq colonnes dont la première renferme tous les ares croissant en progression par différence depuis zéro jusqu’à 90°, et dont les autres contiennent les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de ces mêmes arcs. Les tables de Callet, dont nous allons exposer la construction, ont été calculées de 1 0V en 10", et les logarithmes des lignes trigonométriques des arcs correspondants sont exacts à moins d’un demi-dix-millionième près. Comme le sinus et le cosinus d’un arc quelconque sont toujours plus petits que le rayon , les logarithmes de ces lignes auraient leurs caractéristiques négatives, si l’on prenait l’unité littéraire pour rayon de cet arc, ce qui ne serait pas commode. On a évité cet inconvénient en choisissant le rayon des tables égal à dix billions, c’est-à-dire à 1 010*. Or, les lignes trigonométriques d’arcs semblables étant proportionnelles aux rayons de ces arcs (27), il en résulte que, si l’on avait calculé une table de sinus, de cosinus, tangentes et cotangentes dans l’hypothèse où le rayon est l’unité linéaire, il suffirait d’ajouter 10 unités aux caractéristiques des logarithmes de ces lignes pour obtenir ces logarithmes dans le cas où le rayon est égal à 10’°. Ainsi, nous allons, en prenant l’unité linéaire pour rayon , calculer les valeurs des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de tous les arcs croissant en progression arithmétique, dont la raison est 10", depuis zéro jusqu’à 90°; nous chercherons ensuite les logarithmes des nombres ainsi trouvés, et en ajoutant enfin dix unités à chacun de ces logarithmes, la table sera construite.
11 est clair que le calcul de toutes les lignes trigonométriques peut se réduire à celui des sinus ; car d’abord , pour
* Nous verrons , en effet , dans un instant que la valeur du sinus de 10", calculée dans l’hypothèse du rayon égal à l’unité , est 0,00004 84813 681 et qu’ainsi la caractéristique de son logarithme est — 5.
TABLES TBIGOKOMÉTBIQDES. 41
avoir le cosinus d’un arc, il suffit de chercher le sinus de son complément, et ensuite il sera facile de trouver les valeurs des tangentes et des cotangentes d’après les relations qui existent entre ces dernières lignes et les preinières(26). Mais, en calculant ainsi les sinus de 10" en 10" depuis zéro jusqu’à 90°, nous aurions à exécuter 32400 opérations (le quadran vaut 324000", et par conséquent 32400 fois l’arc de 10"j dont chacune dépendrait de toutes celles qui la précèdent, de sorte que les erreurs commises sur les sinus des arcs compris entre 45° et 90°, c’est-à-dire sur les cosinus des arcs moindres que 45°, pourraient être fort considérables. En conséquence, nous préférerons déterminer séparément les sinus et cosinus de tous les arcs de la progression
et nous nous trouverons avoir ainsi calculé les sinus et cosinus des arcs compris entre 45® et 90®, puisque le sinus ou le cosinus d’un arc plus grand que 45° est égal au cosinus ou au sinus de son complément, lequel est plus petit que 45®.
La première chose à faire est évidemment de calculer le sinus et le cosinus de 1 0". Pour y parvenir d’une manière élémentaire, nous commencerons par établir que l'unité est la limite vers laquelle converge le rapport du sinus d'un arc à cet arc , lorsqu'on suppose que ce même arc tend vers zéro. Considérons, en effet, un arc AM — a moindre qu un quadran: du point M abaissons la perpendiculaire MM' sur le rayon OA, menons au point M la tangente MT, terminée au prolongement de OA, et joignons M'T. Cette droite sera tangente à la circonférence au point M', et nous aurons évidemment
MM'< MAM' et M AM'< MTM', d’où, en divisant par 2,
sina<^rt et a<^tangtf;
c’est-à-dire, que tout arc moindre qu'un quadran est plus grand que son sinus, et plus petit que sa tangente. On tire de ces inégalités
<1 et
sina sina a ^ tanga "
:cos a.
Ainsi , le rapport est compris entre l’unité et cosa. Mais,
Fig. 10
à mesure que l’arc a diminue, la différence (1 — cosa) diminue et tend à devenir nulle, puisque, quand un arc décroît jusqu’à zéro, son cosinus augmente jusqu’à l’unité, donc, a
fortiori, le rapport tend-il vers l'unité. Il en est de même
, tança
du rapport — -jj-.
Il suit immédiatement de là que , l’arc 1 0" étant très-petit , on pourra , sans commettre une erreur considérable, prendre sa longueur pour celle de son sinus; mais avec quel degré d’approximation cette valeur de sin 10" sera-t-elle exacte? Soit a un arc moindre qu’un quadran : on a, d’après ce qui précède,
^ a >COSp
d’où, en multipliant les deux membres de cette inégalité par
n a a 22COS2>
^ fl É ff
2 sin- cos- ]> a cos*- = tf 2 2"^ 2
Mais la quantité 2 sin^ cos 5 est égale à sina; la quantité
^1 — sin!~^ est plus grande que ^1— puisque sin^s^^î donc
sina>a^1 — ^ d’où a' — sin«<j,
ce qui nous apprend que la différence entre un arc plus petit qu’un quadran et son sinus est moindre que le quart du ciîbe de cet arc.
Or, dans le cercle dont le rayon est l’unité linéaire , la longueur de l are de 10" est égale à quantité moin-
04oUU
dre que 5 cent-millièmes, ou que - donc la différence
entre cet arc et son sinus est moindre que et, a fortiori,
moindre que ^ Ainsi , en prenant la longueur de l’arc
TABLES TBIGONOMÊTRIQUES. Û3
de 1 O7 pour la valeur du sinus de cet arc, 1 erreur sera moindre
qu'une demi-unitc du treizième ordre décimal. Cette valeur est
sin 1 0"= 0,00004 8481 3 G8I .
Calculons maintenant le cosinus de 1 07 , et, pour cela, nous
emploierons la formule [22]
cosa = 1 — 2sin!j.
Si on y remplace sin^ par 5, ce qui donnera
cos a — 1 — 2 ^ ,
il est clair que l’erreur commise sur cos fl sera
donc — sin!^<^; et par conséquent, en prenant 1—^
pour la valeur de cosa, on commettra une erreur moindre
que 2-t — — ; mais nous avons trouve que fl, qui représente
l’arc de 1 0", est moindre que^; donc — < âsëTÏÔ55’ quan* tité moindre que ^ Donc, en calculant cos 1 07 au moyen
de la formule cos fl = 1 — -, l’erreur sera moindre qu’une
demi-unité du 18n ordre décimal; à plus forte raison, pourrons-nous nous borner aux treize premiers chiffres décimaux , comme nous l’avons fait pour le sinus, et nous trouverons ainsi que
cos 1 O7 ='0,99999 99988 248.
Cela posé , si nous nous rappelons que la somme des sinus de deux arcs est égale au double produit du sinus de la demisoinme de ces arcs par le cosinus de leur demi-différence (34), et que la somme des cosinus de deux arcs est égale au double produit du cosinus de la demi-somme de ces arcs par le cosinus de leur demi-différence (3o), nous aurons, en désignant par a un terme quelconque de la progression,
uu
TRICONOMÊTRIE.
nous aurons , dis-je ,
sin (rt-l-1 0")-j-sin ( a — 1 0")=2sin a cosl 0", cos(u-|- 1 0")-j-cos(yi — 1 0")=2cos« cosl 0".
On tire Je ces équations :
sin (rt-|-10")=2cos10".sin a — sin (a — 1 07) [ />], cos 1 0")=2cos 1 0".cosn — cos (« — 1 0") [y J.
Or, a — 1 0", a, fi -j— 1 0" sont trois termes consécutifs de notre progression; donc, pour calculer le sinus de l’un quclcoiujue fies termes de cette juogression , multipliez le double du cosinus tfe ht raison par le sinus de l'arc précédent , et retranchez flu produit le sinus tle l’arc an téprécédent. Mais on connaît le sinus et le cosinus des arcs 0° et 10"; donc, on pourra calculer, par cette règle , le sinus de
20", puis celui de 30", de 40", et s'élever ainsi, de 10"
en 10", jusqu’au sinus de 45°. On calculera les cosinus de ces mêmes arcs d'une manière analogue.
La valeur que nous avons trouvée plus haut pour cos 10" diffère très-peu de l’unité : cette remarque a fourni le moyen de simplifier considérablement les calculs précédents. Désignons, en effet, par k le double de la différence entre l'unilc et cos 10", c’est-à-dire, posons
k = 2 (1 — cos 1 0") = 0,00000 00023 504 ; il en résultera que 2 cos 1 0"= 2 — k, et, en substituant cette expression dans les formules : //] et [y], on pourra écrire les valeurs de sin ;Vt-j-lO") et de cos(«-|- 10") ainsi qu'il suit : sin (a -1-1 0")=sin a -4- [sin a — sin(<7 — 10")] — 4sin a, cos(â-j-1 0")=cos«-j-|cosa — cos [ci — 1 0")j — kcosa. Ainsi , pour calculer le sinus de Hun tpielconauc des arcs de la progression proposée , ajoutez au sinus tle tare précédent t excès de ce sinus sur celui de l'arc an té-précédent, et retranchez de la somme te produit du nombre constant k par le sinus fie t arc précédent. Le cosinus se calculera d’une manière analogue.
On voit tpie l’application de cette règle n’exige d’opération qui puisse paraître laborieu>e, que la multiplication de k par sinci ou par cos «; or, on peut d’abord réduire cette multiplication à une simple addition, en formant, une fois pour toutes , 'les neuf premiers multiples de ce nombre constant k.
TABtES TBIGONOMÊTRIQÜES. 45
D’un autre côté, cette multiplication de k par sin a se réduira , dans les cas les plus compliqués, à l’addition de 5 produits partiels, tels que le premier contiendra 5 chiffres significatifs, et chacun des autres un de moins que le précédent. Supposons, en effet, que sina= 0,73490 88987 G54, par exemple. Pour faire le produit de k par ce nombre, nous devrons ajouter ensemble les 7", 3% 4e, 9e, G', 8e,.... multiples de k , mais dans lesquels on aura reculé la virgule de 1, 2, 3, 4,
5, 6, rangs vers la gauche, puisque les chiffres 7, 3, 4,
9, G, 8.... représentent respectivement des unités décimales
du ltr, 2% 3e, 4', 5°, 6e, ordre; or, ces multiples de k se
composant de treize chiffres décimaux dont les sept premiers au moins sont des zéros, on voit que le produit de k par 0,7 . ne renfermera pas plus de 5 chiffres significatifs, si, comme on le doit, on ne conserve dans ce produit que 13 décimales. De même, le produit de k par 0,03 ne pourra pas contenir plus de 4 chiffres significatifs, etc. Ainsi la multiplication de k par sin a s’effectuera très-rapidement.
Lorsqu’il s’agit d’exécuter tant de calculs, on doit chercher à vérifier les résultats aussi souvent qu’il est possible, et ces vérifications sont d’ailleurs utiles pour savoir sur quel degré de précision on peut compter. En conséquence nous allons indiquer le moyen de calculer directement les sinus et cosinus des arcs de la progression
Nous avons vu précédemment que sin 45°= Il est facile
aussi d’avoir le sinus de 18°; car il est la moitié de la corde qui sous-tend l’arc de 3G°, c’est-à-dire le dixième de la circonférence; mais le côté du décagone régulier est égal à 5
donc sin 1 8°=l(v5 — l). On tire de là cosl 8°=v' l — sinMb"
En substituant ccs valeurs de sin 1 8° et de cos 1 8° dans les formules [17] et [18], on obtiendra celles de sin 36° et de cosSC1, et, au moyen des formules [36], il sera également facile de calculer le sinus et le cosinus de 9°. Les memes équations [36] nous conduiront aux valeurs du sinus et du cosinus
de 27°; car le sinus de 54° est connu , puisque cet arc est le complément de 36°. On formera de cette manière le tableau suivant :
sin 9»=1( y' 3 + V'S— V'3 — fi) î cos 9°= ^ ^3 + V» -{- — v^) •
sint8°=l(v/5— l); cosl8,)=yV,10-f2v'S.
sin 27»=^( V^5 + ^3 — v/Hj ; cos270=i(v'S 4- ^4- fi — y/s).
sin3«*=4VlO— 2i/8; cosSC^^l-f-y/H).
sin45l>=~; cos45°=^.
Zi 2à
Il sera facile de calculer ces formules aussi exactement qu’on le voudra, et, en comparant les résultats ainsi obtenus, avec ceux fournis par le calcul de 1 0" en 1 0", on verra quelles sont les décimales communes aux valeurs trouvées pour le sinus ou pour le cosinus d’un même arc, et on saura, de cette manière, sur quel degré d’approximation il est permis de compter pour les valeurs intermédiaires. On supprimera les décimales inexactes, on cherchera les logarithmes des nombres exprimés par celles que l’on aura conservées; et la table des logarithmes des sinus et des cosinus sera construite. On en déduira facilement celles des logarithmes des tangentes et des cotangentes , et il ne restera plus qu’à ajouter 1 0 unités à chaque logarithme trouvé pour avoir les tables trigonome'triques usuelles.
