CHAPITRE IV
54. Nous allons maintenant nous occuper de former les équations qui ont lieu entre les côtés d’un triangle et ses angles, mais auparavant nous rappellerons que si du sommet d’un angle quelconque A ou décrit entre ses cotés Fig. 3. les arcs MB, M'B, MW,.... les sinus de tous ces arcs seront proportionnels à leurs rayons, de sorte que l’on aura
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-rn= t T7T=-r TT7=etc. Amsi 1 angle A étant donne, le rap- AM AM AM 0 7 r
port du sinus de l’un quelconque de ces arcs au rayon de cet arc est déterminé , et réciproquement * ; par conséquent ce rapport suffit à la détermination de l’angle A. On l’a nommé le sinus de l’angle A. Nous appellerons donc sinus d’un angle le rapport du sinus de l’un quelconque des arcs compris entre ses côtés et décrits de son sommet comme centre au rayon de cet arc.. Ce rayon étant arbitraire, nous conviendrons, pour plus de simplicité, de le prendre égal à l’unité linéaire, et alors le sinus d’un angle sera le nombre abstrait qui exprime la longueur du sinus de l’arc conqu is entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre avec f unité linéaire pour rajvn. Comme cette définition s’étend aux autres lignes trigonométriqués, on voit que les symboles sin A, cos A, tangA, cotA, etc., qui entreront dans nos formules, ne seront que des nombres abstraits.
55. Théorème. Dans tout triangle, le double produit du cosinus d’un angle par les deux côtés qui le comprennent est égal à la somme des carrés de ces deux côtés diminuée du carré du troisième.
Soit ABC le triangle proposé, nous conviendrons de dési* Fig. 11.
* Observons cependant que, comme deux arcs supplémentaires ont des sinus égaux , la connaissance du rapport du sinus d’un arc intercepté par les côtés d’un angle au rayon de cet arc , ne détermine pas complètement cet angle, puisqu’il y en a deux pour lesquels ce rapport est le même. Il faut encore savoir si l’angle dont il s’agit est aigu ou obtus.
gner les angles de ce triangle par les lettres A, B, C placées à leurs sommets, et les cotés opposés respectivement par a , b , c. Ainsi A et a désigneront l’angle 1JAC et le côte BC. Cela posé, abaissons du sommet C une perpendiculaire CI sur le côté opposé AB, et nous aurons, en vertu d’un théorème connu de géométrie,
a,=ô*-j-c’ — 2c. AI.
Or, si du point A comme centre avec l’unité linéaire pour rayon, on décrit l’arc DE entre les cotés de l’angle CAI, et qu’on abaisse DF perpendiculairement sur AI, cette droite DF sera le sinus de l’angle CAI, et partant de l’angle A (54), et AF en sera le cosinus; mais les triangles ACI et ADF sont semblables; donc
ad: AC:: AF: ai,
ou
1 ; b ; ; cosA : Al = ô cos A.
Substituant à AI cette valeur dans l’expression de a*, il viendra
c5 — 2 bc cos A.
Quoique cette formule ait été établie en supposant que l’angle A fût aigu, elle n’en convient pas moins au cas où cet angle serait obtus; car, au lieu d’avoir
a*=ô*-}-c* — 2c. AI,
on aurait
rf=^+c*4-2c.AI;
mais aussi l’angle CAI étant alors le supplément de l’angle BAC, son cosinus AF serait égal à — cos A , et par conséquent on aurait encore
a1 — b' -l'-c’ — 2bc cos A .
Enfin cette équation est encore vraie quand l’angle A est droit, puisque, d’après le théorème de Pjthagore , on a , dans ce cas ,
En transposant les termes a* .et — 2ôccos A, il viendra 2 bc cos A=ô!T[-c! — a ’,
ce qui est la traduction algébrique de notre théorème.
