ÉQUATIONS POLAIRES DES COURBES DU SECOND ORDRE
392. Lorsqu’on veut déterminer la position d’un point quelconque au moyen de ses coordonnées polaires, il suffit de faire varier l’angle u de 0° à 360°, et le rayon vecteur p depuis zéro jusqu’à -|-x : il n’est, en effet, aucun point du plan qu on ne puisse atteindre de cette manière. Mais ces limites ne sont plus assez étendues, lorsque les points que l’on veut fixer sur le plan, au lieu d’être isolés, sont liés entre eux par une loi exprimée algébriquement. Dans ce cas, il faut, pour donner aux formules toute la généralité possible , faire varier les quantités p et u depuis — oo jusqu’à -j- oc. C’est ce que 1 exemple suivant mettra hors de doute.
Considérons l’hyperbole équilatère BACB'A'C'
rapportée aux axes rectangulaires Xx et Y y, et dont l’équation est
y1 — jJ-(-«,= 0.
Prenons sur l’axe des y un point quelconque F, et supposons que l’on enroule l'axe des x sur la circonférence d’un cercle décrit de F comme centre avec le rayon FO = r, la partie OX de droite à gauche, et la partie Ox de gauche à droite, et qu’en même temps chaque point de cet axe emporte avec lui l’ordonnée correspondante; de cette manière, le point P étant venu se placer en P7, la double ordonnée MPN se sera couchée sur FP7 ; et en prenant sur cette direction PTVI— PM, P7N7=PN, les points M7 et N' seront les rabattements des points M et N. Nous aurons ainsi deux branches de courbe partant de A, (l’arc OA, est égal en longueur à la droite OA = «) et faisant une infinité de circonvolutions autour de F en allant de droite à gauche. La branche R'A'C' produira semblablement deux branches qui tourneront de gauche à droite, et qui seront symétriques des deux premières par rapport à l’axe des y.
Nous allons chercher l’équation polaire de la courbe ainsi engendrée, en prenant le point F pour pôle et FY pour axe polaire. Puisque l’arc OP7 est égal à l’abscisse OP =x du point
M, l’arc ai qui mesure l’angle YFP7 est égal à ^ ; car les arcs
semblables sont proportionnels à leurs rayons, et celui de ta
est l’unité ; ainsi w = -.
Fig. 13S
D’un autre côté, il est évident que
P —r+Xt
et que par conséquent en éliminant x et^- entre ces deux équations et l’équation
de la courbe proposée, on aura l’équation polaire de la nouvelle courbe. Cette équation est
(p — fj — rV-|-a*=0 [2].
Pour la discuter, je la résous par rapport à p, ce qui donne
p=r± V'rV — «*,
et je suppose que l’on fasse croître w positivement et d’une manière continue à partir de zéro. Si l’on convient de représenter par p, et par ps les valeurs de p qui correspondent respectivement au signe supérieur et au signe inférieur, on formera le tableau suivant :
iù<?~ donne . . .
. .p, imaginaire. . ,
. . .p, imaginaire,
ct>=-
waug“
•piaug"
, . .p, diminue,
CD — — •
Ol,
Ainsi du point À, partent deux branches de courbe, dont l’une s’éloigne continuellement du pôle, tandis que l’autre s’en approche, au contraire, de plus en plus, et l’atteint quand l’an-
gle w est égal à v “■ Si w continue d’augmenter, p, continue
d’augmenter, mais p, devient négatif; si donc on ne voulait pas admettre de valeurs négatives pour le rayon vecteur, la seconde branche s’arrêterait brusquement au point F ; et si l’on bornait à 360° les valeurs de l’angle w, la première branche s’arrêterait aussi, au bout d’une révolution. Or, on voit que, quand l’ordonnée NP est égale à r , le point N vient se placer au centre F du cercle; et que, quand cette ordonnée surpasse r, le point N se rabat sur le rayon P'F prolongé, à
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une distance de F égale à l’excès de l’ordonnée NP sur le rayon FF', c’est-à-dire égale à la valeur absolue de p,. Donc, pour reproduire la courbe proposée, il faut nécessairement faire croître to jusqu’à -j- ao , et admettre les valeurs négatives du rayon vecteur, mais en les comptant sur le prolongement du rajvn qui fait l'angle correspondant i» avec l’axe [>o~ laire. On trouvera de cette manière toutes les circonvolutions que forment les deux branches issues de A, ; mais l’équation [2] ne représentera rien de plus, si l’on ne veut pas admettre de valeurs négatives pourw, de sorte qu’en la construisant, on n obtiendra qu’une moitié du lieu. Il faut donc faire varier <o négativement.
Or, en changeant w en — 'ü>, l’équation [21 ne change pas ; donc la courbe est symétrique par rapport à l’axe polaire FY, comme cela doit être.
Cherchons la tangente en un point quelconque (p, <o). Nous ferons, pour cela, le calcul suivant:
(2p — 2 r-\-k)k — r*(2<a-}-A)A=0, lim^=^^, tang M -.
Au point A,, o>=~, p =/•: donc tangM=0, ainsi le rayon
FA, est tangent à la courbe en ce point ; et, en effet, la tangente "en A étant perpendiculaire à l’axe des x a dû prendre la position FA,. La courbe présente donc au point A, sa convexité au rayon FA,.
CÊOMÉTHIE ANALYTIQUE.
Fig. 136
àOà
