CHAPITRE XV

Dr POLE ET DE LA POLAIRE.

*393. Lkmme. Le lieu des points harmoniques conjugués d’un point donné , par rapport aux extrémités des cordes que laissent dans une courue du second ordre une infinité de sécantes issues de ce point, est une ligne droite.

Prenons pour axe des x le diamètre tiré par le point donné A, et pour axe des y une parallèle menée par ce point aux cordes conjuguées de ce diamètre : l’équation de la courbe du second ordre sera de la forme

A^4 Ca-’-f Kr+F = 0 [1]. *

Cela posé, soit AC une sécante quelconque menée par A, M l’harmonique conjugué de ce point par rapport aux extrémités de la corde M'M . Les projections A, P, P, et V" des quatre points A, M', M et M" formeront aussi un système harmonique, et réciproquement, de sorte que si l’on désigne par y, x et xJ' les abscisses respectives des points M', M et Mff, on aura

d’où 2yy' — *(y-j-y')=o.

Or, l’équation de la sécante AC est de la forme

y—mx,

et si l’on élimine^" entre cette équationlet celle de la courbe, l’équation finale

(A né C) y-j-E.r —{—F =0

aura pour racines les abscisses si et xJI des points B et C; donc

A/n’-j-C’ Am’-j-C’

et par conséquent Er-j-2I*=0 [2].

Telle est l'équation du lieu , qui est ainsi une ligne droite