COS A
cos fl — cos b cos c
sin l> sine
Pour rendre cette formule calculable par logarithmes, nous agirons comme au n° 75, c’est-à-dire que nous ajouterons l’unité aux deux membres, ce qui donnera
0 jÀ cos a — cos b cos c -(- sin b sin c cos a — cos(i-j-c)
Z* COS t — — • r • — • j • >
2 sin b sin c sine/ sine
d’où (35),
,à sm— F" sm— F" #
2 ‘lin b sin c
COS
Si l’on représente par 2/>le périmètre b-\-c-\-a du triangle, on aura b-\-c — a—2(p— «), et partant
cos
;=b mq,
! y sin o sine i J7
en rétablissant le rayon.
Si , au lieu d’ajouter l’unité aux deux membres de l’équation [y] , on y eût ajouté — 1 , on aurait trouvé , comme au u° 75, #
sint=Rv/~
sin (p — fc)sin(/> — c).
sin b sin c
et enfin, en divisant membre à membre cette équation et la précédente ,
A n /sin?
t»°S !=BV/4
(p-b)sin(p-c)
sin/>sin(/> — a)
RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES ORLIQUANGLES. 87 Si on n’a qu’un angle à calculer, on emploiera la formule qui donne cos - ; mais, si l’on demande les trois angles, on fera usage de la troisième.
101. Discutons la formule [66]. Je dis d’abord que les deux facteurs du numérateur ne sauraient être négatifs, sans quoi leur somme serait aussi <[ 0, et cette somme est égale
à 2sin^j^- cos^, quantité positive, puisque, d’après la définition même des triangles sphériques, chaque côté est moindre que 180°; donc il faut que l’on ait sin/;>0 et sin (y; — a)>0. La première de ces conditions donne p<^ 1 80°, et partant 2/?<360°. La seconde revient à a<ô-|-c. Telles sont les
conditions nécessaires pour que la valeur de cos ^ soit réelle.
Il faut de plus qu’elle soit moindre que le rayon ; donc sin p sin ( p — a) < sin b sine ,
ou bien (35)
cosa — cos(ô-|-c)< cos (b — c) — cos(ô-|-c), inégalité qui se réduit à
cos a < cos (J> — c).
Si donc a <90°, auquel cas la valeur absolue de (ô — c) çst aussi < 90°, on aura
en supposant b > c.
Si «>90° et que b — c soit <90°, on aura a>b— c;
et si (b — 'c) est aussi >90° eu valeur absolue, l 'inégalité cos«<cos(ôr— . c) reviendra encore (15) à
Ainsi , pour que le triangle soit possible, il faut que la somme de ses trois côtés soit moindre que 360°, et qu’un côté soit plus petit que la somme des deux autres et plus*grand que leur différence.
1 02 . 2° Cas. Connaissant les deux côtés a , b et l'angle A, calculer le troisième côté c et les deux angles B et C.
On obtiendra l’angle B , par la formule •
sinB
sin b sin A .
an 47
et, comme eet angle est ainsi donné par son sinus, il pourra admettre deux valeurs supplémentaires l’une de l’autre. Nous discuterons ce cas tout à l’heure.
L’angle C sera donné par le théorème du n° 86,
cot/ï 1 ^ cotA t
cot b " cosC ' cot C * cos b ’
ou cot<zsinô=cosôcosC-]-cotAsinC.
Pour en déduire la valeur de l’angle C, nous appliquerons au second membre de cette équation la méthode du n° 68, et il viendra, en divisant par cos b ,
cotatang&=cosC I <nt-^sinC=:^^ —
° 1 cose coso
d’où cos(C-?)=^«A
v T' tango
l’angle <p étant déterminé par l’équation
tang? =
R cot A cos b
Ainsi , après avoir déterminé l’angle auxiliaire <p par cette dernière équation, on calculera l’angle dz(C — <p) au moyen de la précédente, et on en déduira facilement l’angle C.
Je dis ±(C — <p) ; parce que cos C cos <p -}- sin C sin o n’est pas le développement de cos (C — <p), plutôt que celui de cos (ç C).
Quant au côté c, on l’obtiendra par l’application du théorème fondamental
sin6sinccosA-j-cos£cosc=cosfl, d’où , en suivant encore la méthode du n° 68 ,
z . , cos n cos , tant; b cos A
cos(e — o)= r-s-, tangJ>= —
• ^ T' cosè ’ OT R
Fis. 24. Il est bon d’observer, que <p est l’angle DCA que forme avec AC l’arc de grand cercle mené par le sommet C perpendiculairement au côté AB, et que <J< est le segment DA compris
