RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES OBLIQUANGLES

la circonférence coupera ADA' entre A et D , et passera par Fig. 25. A', ou enveloppera ce point j donc il n’y aura qu’une seule solution, et l’angle B sera obtus; car il est le supplément de DBG, lequel angle est aigu. D’ailleurs 0<<1» et G<ç.

2° Soit A > 90". La discussion de ce cas sera analogue à celle du précédent.

En résumant tous les résultats trouvés, on formera le tableau suivant, en n’oubliant pas que dans le cas où A<90°, si B est < ou > 90°, les valeurs de c et de C seront respectivement plus grandes ou plus petites nue 6 et nue <p , et e/ue ce sera le contraire, lorsque A sera plus gratul que 90° :

a>b, a=I80“ — b ou a>180" — b. .aucune solution.

a>b, o<18<r — b. , , une

a— b uno

o<b '. . . . .deux.

a>b aucune.

o=b aucune.

a<b deux.

a>b aucune.

o=b aucune.

a < b et o < 1 80° — b deux.

a<bcto=l80* — bouo>l80" — b. une.

a>b, 0=180* — b ou a <180“ — b

. .une.

. .deux.

. .aucune.

. .aucune, ..deux.

. ..aucune.

. . .aucune.

a>b deux.

0= b une.

o<b, a> 180* — b une.

o<b, a=l80" — bouo<180* — b, .aucune.

Avant d’entreprendre la résolution d’un triangle dans lequel on connaîtra les côtés a et b et l’angle A, on devra commencer par voir, à l’aide de ce tableau, si le problème est possible ou s’il ne l’est pas; et, quand il le sera, s’il admet une ou deux solutions. Puis on calculera l’angle B par la formule

sinB=

sinAsinb

sina

Si le logarithme de sin B > log R = 1 0, on en conclura que le problème est tout à fait impossible (sinCD=sinA sini); s’il en est autrement, on prendra pour l’angle B la valeur tabulaire, ou son supplément, suivant que le tableau indiquera

que cet angle est aigu ou obtus, et on les prendra toutes deux si le problème admet deux solutions.

L’angle B étant ainsi connu, on obtiendra les valeurs de C et de c par les formules que nous avons données plus haut.

104. 3’Cas. Résoudre un triangle dont on connaît deux côtés a et b et l'angle compris C.

Les inconnues sont c, A et B. On les obtiendra en faisant usage des théorèmes des n0* 82 et 86 : on trouvera (65)

1° cosc=sinasinôcosC-|-cosrtcosô

=cos« [sinôtang«cosC-|-cos4 J

cos « cos (è — p) rosi

l’angle auxiliaire <p étant déterminé par l’équation

tang<p

tarif; rt cos C ît

dans laquelle on a rétabli le rayon.

. . cotasinA — cosicosC

2 cotA= ^

=cotC f c-2^sin£— cos/t] =£°-lCsjn(*— 1>, (cosC ) . rosîp

l’angle <p ayant la même valeur que tout à l’heure. •

„ cot&sina — cosncosC

3 cotB= —

=cotC f "^-^si

sinC sinrt-

-COSrt

(cosC

l'anglè (}/ étant déterminé par l’équation

tangicosC

cotCsin(n — A) cos Jj

tangij/:

105. 4', 5° et 6' Cas. Ces trois cas sont ceux où l’on donnerait

Deux angles et le côté adjacent ;

Deux angles et le côté opposé à l'un d'eux ;

Ixs trois angles ;

mais ils se ramènent aux trois premiers cas, par le secours du triangle supplémentaire. En effet, quand on donne, dans le quatrième cas, les angles A et B avec le côté adjacent c, on connaît les deux côtés a' et // du triangle supplémentaire avec l’angle compris C; car «'=180° — A, ô'= 180° — B, et .0=1 80° — c; on pourra donc calculer c', Al et B' par les

résolution des triangles SPHÉRIQUES OBUQUANGLES. 93

formules que nous avons données au n" 104, et en prenant leurs suppléments, on aura les valeurs de C, a et b. De cette manière le quatrième cas se ramène au troisième; de même on ramènera le cinquième et le sixième au second et au premier.

106. Analogies de Néper. Néper , l’inventeur des logarithmes, a trouvé les formules suivantes qui sont connues sous le nom d' analogies de Néper,

a+b cos— r~ ,c „ a— b sm— y* Lc

tang^-=^r-pCoti, tang-§-=-T-RcotI, eos — è — sin — - —

tang —j—=

-tang-, tang— =-XT- tang-.

Nous nous contenterons de démontrer directement les deux premières, attendu que les deux autres s’en déduisent immédiatement par le secours du triangle polaire. En effet, si dans la première , par exemple , on remplace À , B , C , a et b par leurs suppléments il viendra

— = Â+sXtangj.

— COS—

Pour démontrer ces équations, les auteurs des Annales de mathématiques de Gergone t ont eu l’heureuse idée de faire usage des formules qui donnent la tangente de la moitié d’un angle d’un triangle sphérique en fonction de ses côtés, et, en modifiant légèrement leur méthode, on arrive très -simplement aux formules de Néper.

11 s’agit, en effet, de calculer en fonction des côtés, lc rap-

port

tang-

AdbB

Cüt2

. Or, on a évidemment

la,1e — g — tang --± tang ^ c tang - tang -± tang - tang -

=: a — itan& i = — 1 — — -

lrp tang -tang -

cot-

A B lq=tanS 2,anK|

Mais nous avons trouvé (100)

tang

A /Sç

2 V si B /si

(/>— 6)sin(/>— r)

sinyssin (/j — a)

et partant tangf = siapsiHp-b)

sin {}> — o)sin (jj — c) .

d’où il suit que par conséquent et

A. B sinfü — c) tang^tang - =

tangA tang5=^^ — — , o 2 °2 smp

B C sin(/> — o).

tang ^ tang-—

donc, en substituant,

ArfcB ,ang— 5—

sin/>

sin(/> — fl)±sin(/» — b)

cot-

sin/»ipsin(/^ — c)

Si l’on dédouble cette équation, et qu’on transforme en produits les sommes et les différences de sinus qui s’y trouvent (34 et 33), on trouvera, toutes réductions faites,

tang

cos

j— ; cot3>

tang

— T7cot5-

On emploie ces formules pour calculer plus simplement que nous ne l’avons fait au n° 1 04 les angles A et B en fonction des deux côtés a et b et de l’angle compris C. Quant au troisième côté c on devra le calculer directement, comme au n* cité.

Cette solution est tout à fait analogue à celle du troisième cas de la résolution des triangles rectilignes (73).