La seconde équation
.r1 — ax — b'—O peut être mise sous la forme
ce qui signifie que b est une moyenne proportionnelle entre x et (a: — a); ainsi on pourra regarder b et x comme une tangente et une sécante issues d’un même point, et (.r — a) comme la partie extérieure de cette sécante, de sorte que la
corde qu’elle laisse dans la circonférence est égale à a. En Fig. 6. conséquence, à l’extrémité B d’une droite OB=Æ, on élèvera
une perpendiculaire AB=^; du point A comme centre, et
avec AB pour rayon, on décrira une circonférence, et on tirera par le centre A et le point O la sécante OAX, cette droite sera une valeur de x, et — OX' sera l’autre. En effet, OB et OX étant une tangente et une sécante issues du même point O , on a :
ÔB=OX.OX'.
Mais OB— />, OX'=OX— X'X=OX— «; donc * #=OX.(OX— a),
équation qui jj’est que le résultat obtenu en remplaçant x par OX dans la proposée
ce qui prouve que OX vérifie cette équation. Il en est de même de— OX'; carOX=OX'-f-X'X=OX'+a; ainsi
feOX'.fpX'-fa), ou bien £*= — OX' . ( — OX' — a).
— OX' vérifie donc l’équation proposée.
Cette construction réussit toujours; ainsi les racines de l’équation
u3 — ax — tf—Ù
ne peuvent pas être imaginaires.
28. Considérons actuellement une équation bi-carrée quelconque. On pourra toujours la ramener à l’une des trois formes suivantes :
xk — abx3-{-t3(P= 0, x‘ — abx? — c,c/,=0, xk-\-abx3 — eV’= 0,
(nous excluons le cas où les trois termes seraient positifs ; car il est évident que les racines d’une pareille équation sont imaginaires). Posons
x3— cz,
et il viendra , après avoir divisé par c5, --7 ?-jz-d'= 0,
nb
équations faciles à construire d’après ce qui précède (26
et 27). La droite z étant connue, il ne s’agira plus, pour avoir x, que de prendre une moyenne proportionnelle entre cette droite z et c.
Remarquons que la seconde et la troisième des équations proposées ne donneront chacune que deux valeurs réelles pour x, lesquelles seront égales et de signes contraires , mais que la première aura ses racines toutes quatre réelles ou toutes quatre imaginaires.
29. Il arrive quelquefois que l’on cherche immédiatement une aire ou un volume. Pour construire la formule qui donne alors la valeur de l’inconnue, on suivra une marche parfaitement analogue à celle que nous avons indiquée pour la construction des lignes. Ainsi la formule représentera une aire ou un volume, si, étant rationnelle et fractionnaire, par exemple, son numérateur contient deux ou trois dimensions de plus que son dénominateur. Telles sont les expressions :
Or, construire ees formules, c’est faire un rectangle dont l’aire soit égale à la valeur de x, et un parallélipipède rectangle dont le volume soit équivalent à la valeur de^\ Il faudra donc ramener les seconds membres de ces équations à être le produit, l’un de deux facteurs monômes du premier degré, et l’autre de trois pareils facteurs, ce qui est facile j car, en posant
âz=az et l/=cu>} la première formule deviendra
et, en posait de même,
b*=c?z et c*s=aV, l’expression de y deviendra
