CHAPITRE II

§ I. Théorie des coordonnées.

43. En appliquant la méthode que nous avons développée dans le chapitre précédent à toutes les questions de géométrie où l’on n’aura à considérer que des lignes droites ou des circonférences, des surfaces planes, cylindriques, coniques ou sphériques, on parviendra toujours à résoudre ces questions. Mais on comprend que la science de l’étendue figurée ne doit pas borner ses spéculations aux lignes et aux surfaces dont nous venons de parler, et qu’elle doit au contraire les étendre à toutes les lignes et à toutes les surfaces courbes qui sont susceptibles d’une définition précise. Le domaine de la géométrie, considérée sous ce point vue général, n’a donc point de limites, et par conséquent l’objet qu’on peut se proposer dans l’exposition de cette science consiste à faire connaître les méthodes générales qu’il convient de suivre pour découvrir toutes les propriétés d’une ligne ou d’une surface courbe donnée, c’est-à-dire pour effectuer sur cette ligne ou sur cette surface le travail que l’on a fait dans les éléments sur la circonférence de cercle ou sur la surface sphérique. C’est à Descartes qu’appartient l’honneur d’avoir posé les fondements de cette géométrie générale, et d’avoir ainsi ouvert à Newton la voie qui devait le conduire à la découverte de la pesanteur universelle. Les géomètres qui l’ont suivi, tels qu’EuLER et Clairault, ont continué glorieusement f œuvre que ce grand homme avait commencée ; mais il était réservé à notre illustre Monge de couronner l’édifice , en créant une théorie complète des surfaces et des lignes à double courbure. Cette théorie est fondée sur l’emploi de la plus haute analyse, à laquelle elle a fourni ellemême des procédés nouveaux et d’importants perfectionnements. Notre but, dans cet ouvrage, est beaucoup plus

restreint : nous nous proposons seulement de développer les méthodes générales que fournit l’algèbre pour mener des tangentes aux courbes planes, déterminer leurs asymptotes rectilignes, leurs centres, leurs lignes diamétrales et leurs points singuliers, et enfin de faire une application spéciale de ces méthodes à l'étude des propriétés des courbes du second ordre ou des sections coniques, comme les appelaient les anciens. Nous terminerons par la théorie du plan et de la ligne droite considérée dans l’espace.

44. La première question que se proposa Descartes, quand il voulut appliquer le calcul à l’étude de la géométrie générale , fut de déterminer par des nombres lu position d’un point sur un plan; car on conçoit qu’il sera possible d’en déduire les moyens d’y fixer la situation d’une ligne, puisqu’on peut la considérer comme le lieu des positions successives qu’aurait occupées sur ce plan un point assujetti à s’y mouvoir suivant des lois connues.

Fig. 18. Supposons que l’on ait tracé sur un plan deux droites Yy et X.r, faisant d’ailleurs entre elles un angle quelconque, et qu’on sache qu’un certain point de ce plan se trouve, par exemple, à un centimètre de la première et à lieux de la seconde, ces distances étant mesurées sur des parallèles aux droites respectives Xx et Y^-. 11 suit immédiatement de la première de ces deux conditions, que si l’on prend sur Xx deux distances OA et OA! égales à un centimètre , et que par les points A et A' on mène des parallèles à Y/, notre point sera un de ceux de ces deux parallèles; car leur système est le lieu géométrique de tous les points qui sont à un centimètre de Y y. En vertu de la seconde condition, si l’on prend sur Yy deux distances 013 et OB' égales chacune à deux centimètres, et que par les points 13 et B' on tire des parallèles à X.r, le point demandé devra appartenir aussi à l’une ou à l’autre de ces deux parallèles ; donc il devra être l’un quelconque des quatre points où elles sont coupées par les parallèles à Yy, de sorte qu’il faut encore quelques conditions particulières pour achever de déterminer notre point. Si l’on sait , par exemple, qu’il doit être à droite ou à gauche de Yy, au-dessus ou au-dessous de Xx, au lieu de deux parallèles à chacune de ces droites, on n’en mènera plus alors qu’une seule, et notre point, devant se trouver à l’intersection