THÉORIE DES COORDONNÉES

de deux droites connues, sera par conséquent entièrement déterminé.

Pour indiquer dans quel sens les distances de notre point aux droites Y y et X.r doivent être prises, nous conviendrons, conformément aux conventions faites sur l’interprétation géométrique des signes —J— et — placés devant des quantités isolées (34), de regarder comme positives les distances mesurées sur X.r à droite de Yy, et comme négatives celles qui seront mesurées dans le sens contraire. De même les distances à Xo: seront affectées du signe + ou du signe — , selon qu’on les comptera sur Y y en allant dans le sens OY ou dans le sens O/.

43. Les distances respectives d’un point aux droites Yy et Xx s’appellent Y abscisse et Y ordonnée de ce point. On désigne ordinairement la première par la lettre x et la seconde par la lettre^-, de sorte que l’abscisse du point M' esto; = — 1c-m et que son ordonnée esG>'=-|-2c'm. En conséquence, la droite Xr se nomme Y axe des ordonnées ou des^‘, et la droite Xx est dite Y axe des abscisses ou des x , et comme Descartes a donné le nom commun de coordonnées aux quantités géométriques qui servent à fixer la position d’un point sur un plan, on appelle les droites Xx et Y y les axes des coordonnées. Lé point O où ces axes se croisent est dit Y origine des coordonnées ou simplement l’origine. . *

D’après cela, pour construire le point (1, — 2), c’est-àdire le point qui a 1 pour abscisse et — 2. pour ordonnée *, nous prendrons sur l’axe des abscisses positives une distance OA=1 unité, sur Online distance OB' égale à 2 unités, puis nous décrirons des points A et B' comme centre et avec des rayons égaux respectivement à OB' et à OA deux arcs de cercle, et le point M"' ainsi déterminé par leur intersection sera le point demandé.

On verra de même que M" est le point ( — 1 , — 2).

4G. Nous avons dit plus haut que les droites Yy et Xx se coupaient sous un angle quelconque, mais le plus souvent on trace ces droites perpendiculairement l’une sur l’autre : dans

* Nous conviendrons que le symbole (a, b ) désignera le point dont l’abscisse et l’ordonnée sont respectivement a et b, et l’abcisse sera toujours écrite la première.

1t|0 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

ce cas, les coordonnées d’un point sont les véritables distances de ce point aux axes Y y et Xx.

47. On conçoit facilement qu’autant on peut imaginer de constructions différentes pour fixer la position d’un point sur un plan, autant il y a de systèmes de coordonnées distincts; qu’ainsi, par exemple, la situation d’un point sur un plan pourra être déterminée par ses distances à deux points Fig. 14. fixes A et B de ce plan, pourvu que l’on indique en outre de quel côté il est situé par rapport à la droite AB ; ou par les angles que font avec la droite indéfinie AB les droites qui le joignent aux points A et B, ces angles étant comptés dans le même sens, de droite à gauche, à partir du point X, par exemple, etc., etc. Mais, parmi tous ces différents systèmes de coordonnées, le plus usité, après celui dont nous avons parlé d’abord (44), est le suivant, auquel on a donné le nom de système de coordonnées polaires. Supposons que l’on ait Fig. 15. tracé sur un plan , à partir d’un point fixe O, une droite OV : si l’on se donne la distance p d’un certain point au pôle O, distance que l’on appelle le rayon vecteur de ce point, et l’angle o> que ce rayon vecteur fait avec Y axe polaire OV, la position «lu point dont il s’agit sera complètement déterminée. En effet, si l’on fait au point O et avec OV l’angle AOV égal à «o, le point demandé sera un de ceux de la droite OA. D'un autre côté-, puisqu’il doit être à une distance p du pôle, il n'y aura qu’à porter sur la droite indéfinie OA une distance OM égale à p, et le point M ainsi obtenu sera le point (to, p), c’est-à-dire le point qui a to et p pour coordonnées polaires. Pour que les coordonnées polaires w et p puissent déterminer tous les points du plan, il faut et il suffit que w puisse varier depuis 0° jusqu’à 360" et p depuis zéro jusqu’à l’infini positif.

Veut-on construire le point (247°, 1c,m,5), c’est-à-dire le point déterminé par un angle de 247° et par un rayon vecteur égal à 1cm,5, on fera au point O avec OV un angle A'OV de 247°, puis on prendra sur OA' une distance de 1r,m,5, et le point M' ainsi obtenu sera le point demandé.