Les CARACTÈRES DE LA PARABOLE SONT donc

B’ — 4AC=0, AES— BDE-fCD’^O;

car cette dernière condition exprime que p est différent de zéro, puisqu’elle provient de

p' — AE* — BDE-|-CD,-|-F(B’ — 4AC)^0.

214. Supposons que l’on ait A = 0 et B = 0, mais que ni C ni D ne soient nuis, auquel cas les conditions qui forment le caractère analytique de la parabole seront remplies.

Si l’on résout l’équation

Grs+Dj-fE.x + F=0,

par rapport à y , on trouvera *

y—ax3-\-bx-\-c,

, . CEF

en représentant par a, b, c les rapports — g, — g, —

Il peut se présenter trois cas, suivant que lr — Aac~y>0,

= Ü ou <0 : nous supposerons d’ailleurs «>0; car, si a

était négatif, il n’y aurait qu’à changer les signes du second

membre , et à porter les valeurs positives de y dans le sens

des ordonnées négatives, et vice versa.

1" Cas. lè — 4ttc]>0. Les racines de l’équation Fig. 74.

ax3 -\-bx-\- c = 0

sont réelles et inégales, et en les représentant par £ et par a}' , il viendra

On voit par là que la valeur relative de £ étant supposée plus petite que celle de £', lorsque l’on fera croître r depuis £' jusqu’à l’infini, ou que l’on fera diminuer cette variable depuis £ jusqu’à — oo , y croîtra depuis zéro jusqu’à l’infini

positif; car les facteurs — X) et (.r — xJI) seront constamment de mêmes signes. Si donc on prend sur l’axe des abscisses des distances O \ =a/ et OB=.rw, on aura les points où la parabole coupe l’axe des x, et de ces points À et B partiront deux branches de courbe qui s’étendront indéfiniment, l’une du côté des abscisses négatives , l’autre du côté des abscisses positives , en s’élevant indéfiniment au-dessus de l’axe des x.

Pour toute valeur de x comprise entre a/ et x", y sera constamment négative; car le facteur {x — d') sera négatif et (.r — a/) sera positif; ainsi les deux branches AU et BV se prolongeront au-dessous de l’axe des x, et s’y réuniront pour ne*fj§rmer qu’une seule courbe. Si on met la valeur dessous la forme suivante

on verra que la somme des facteurs (jt* — a;) et (x — a/) étant la quantité constante (a/' — .V), leur produit est susceptible d’un maximum qu’il atteindra quand on aura

-x!=xJ' — x, d’où x-

r'-fx"

maximum sera (a.

on aura^'= — a( -

de sorte que pour a: = ^“^ ,

' - J . On prendra donc le milieu C de AB,

on mènera par ce point une parallèle CD à l’axe des^, et en

prenant ^ , on aura le point de la parabole qui

est le plus éloigné de l’axe des X du côté des ordonnées négatives. Comme d’ailleurs la courbe est concave vers l’axe des x, dans l’intervalle compris entre les points A et B, on voit que la parallèle menée par le point D à cet axe lui est tangente.

Si l’on résout l’équation y—a^-\-bx-\-c par rapport à .r, on reconnaîtra que la droite CD, qui a pour équation b x'-(-x"

x = — — =— î— , est un diamètre dont les cordes conju-

guées sont parallèles à l’axe des x.

T Cas. Si b ’ — 4/70= 0, x'=.iJ,J et il n’y a de différence entre ce cas et le précédent qu’en ce cjue la courbe est tangente à l’axe des x au point dont l’abscisse est . — g-. 1

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«3* Cas. 6* — 0. On mettra l'équation^^u: '+b.<:+c sous la forme suivante :

inc-

l i i inc —

.r+âïj

et on verra immédiatement que la courbe est située tout entière au-dessus de l’axe des .r; qu’elle s’étend indéfiniment à droite et à gauche de l’axe des jr en présentant sa convexité à Taxe des x, et que celui de ses points qui en est le plus près

a pour coordonnées x= — y= — — — .

21 «>. Lorsqu’on voudra discuter une équation du second degré, dans laquelle les coefficients seront des nombres donnés, il faudra appliquer directement la méthode que nous avons développée dans ce qui précède, sans qu’il soit besoin de s’astreindre à former, pour le cas particulier que l’on a à considérer, les conditions qui sont le caractère analytique de l'ellipse, de l’hyperbole ou de la parabole; seulement il faudra observer le signe du coefficient de ,xJ, dans la quantité soumise au radical, lorsque l’on aura résolu l’équation proposée par rapport à y (on suppose que cette équation renferme les carrés des deux variables, sans quoi on la traiterait d’après les méthodes exposées aux n°* 209 et 214), ce qui apprendra que le lieu cherché peut e'tre une ellipse, une hyperbole ou une parabole. La nature des racines de l’équation formée en égalant à zéro la quantité soumise au radical lèvera tous les doutes; car, si ces racines sont égales, ce lieu est ce que nous avons appelé une variété des courbes du second ordre (nM 204, 200 et 212). L’équation proposée ne représentera rien, si les racines dont il s’agit sont imaginaires, et si , de plus , le coefficient de x ' sous le radical est négatif.