CD— BF

BDE— CD*— FBS B»

r n’est pas nul; car le numérateur de la fraction qu’il re-

présente est, au signe près, la quantité à laquelle se réduit AE* — BDE-j-CD’-j-F^B' — 4AC) lorsque A=0. Nous admettrons, pour fixer les idées, que a , 6, r, B et D soient des quantités positives. Cela posé, j’observe que si l’on avait construit la droite

y=ax-\-b,

il suffirait, pour obtenir tous les points de la courbe, d’ajouter à l’ordonnée de chaque point de cette droite une quantité déterminée par la valeur que prend la fraction , lorsque

, l’on y remplace x par l’abscisse du point que l’on considère. Je construis donc la droite représentée par l’équation Kig. 12. y= ax-\-b, et je suppose que UV soit cette droite. J’appelle yt l’ordonnée de chaque point de la courbe comptée à partir de la droite UV, et la discussion de l’équation proposée se trouve ramenée à celle de l’équation plus simple

, ' Rr-)-D’

jLn conséquence, je fais croître .r depuis zéro jusqu’à -j- oo et depuis zéro jusqu’à — oo , et je forme ainsi le tableau suit. vaut :

-r= 0 donne yis=—i

•raug’* yt diminue;

x = ao 7i = °»

;rauSl6<g JFiaug‘";

xaug'° y diminue négativement.

x = <x> , • • Jt — 0.

On voit par là que la courbe coupe l’axe des y en un point que l’on trouve, en prenant sur cet axe, et à partir de A, une

distance AB égale à que de ce point B part une brapche

de courbe qui s’approche indéfiniment de la droite AV, lorsque x croit au delà de toute grandeur donnée, de sorte que AV est une asymptote de cette branche; que cette même branche s’étend à gauche du point h en s’éloignant de U V et en s’approchant de plus en plus de la droite ST, qui a pour équation x— — lorsque x tend vers — Donc CS est une seconde asymptote de la courbe.

x croissant négativement depuis g jusqu’à l’infini » 7. diminue négativement depuis l’infini jusqu’à zéro; ainsi il y a une seconde branche qui est située tout entière dans l’angle UDT et qui s’approche indéfiniment de CT et de DU, en s’éloignant respectivement de AU et de CT, au delà de toute limite assignable. Elle a donc pour asymptotes les droites AU et CT. *

On voit par là que la courbe se compose encore de deux branches indéfinies, et entièrement séparées l’une de l’autre, qui s’opposent leur convexité et ont pour asymptotes les droites UV et ST. Donc, quand le carré de /manque dans l’équation [1], l’une des asymptotes est parallèle à l’axe

des / (172).

Si D = 0, l’équation xt= — ^ de l’asymptote ST se réduit à .r = 0. Donc, quand le carré et la première puissance de / ne se trouvent pas dans l’cquation du second degré, l'axe des /est une asymptote (i 72).

Si C = 0, l’équation y=av-\-b de l’asymptote UV se réduit à y=b, et à/= 0 si on a de plus E=0. Ainsi, quand les carrés des variables n’entrent pas dans l’équation du second degré , les axes des coordonnées sont parallèles aux . . asymptotes, et sont eux-mêmes les asymptotes si l’équation ne renferme que le rectangle des variables et un terme constant (i 75).

210. Si r = 0, tant que x sera différent de — la valeur de )\ sera nulle; donc une portion de l’hyperbole coïn- - eide avec UV; mais, lorsque l’on fera x = — la valeur

de /, se réduira à g, et l’équation 7i = étant vérifiée,

quelque valeur que l’on donne à/i. on voit que l’autre partie de 1 a courbe coïncide avec ST, de sorte que l'hyperbole se réduit alors au système dos deux droites UV et ST; mais aussi l’équation r—0 exige que AE’— BDE-fCl),4-F(B*— 4AC)=0 puisque A=0 : c’est le cas du n° 206. D’ailleurs l’équation [6]

revient alors ày= i— -> ou (B.r-|-D)(/- — ax — b)=Q ,

qui représente les deux droites UV et ST.

§ IV. Construction des paraboles. B1 — 4AC=0 *.

On commencera toujours par construire le diamè-

Fig. T3. tre RS dont l’équation est^= — P, puis on cherchera

le point où la courbe rencontre ce diamètre en résolvant l’équation

2 px — j— </ = 0 ;

car la formule [4] se réduit ici à

■*=±Av2/“+?=±îi v^+é)-

On tire de cette équation — ~~ : on prendra donc

OA= — ~t on tirera par le point A une parallèle à l’axe

des^-, et on obtiendra ainsi le point B où la courbe coupe son diamètre. Cela posé, il est clair que si p est positif, lorsque x

croîtra depuis — ^jusqu’à l’infini, y croîtra indéfiniment

depuis zéro jusqu’à l’infini, et que pour toute valeur de x

moindre que — jrt sera imaginaire. Donc, à partir du

point B, la courbe s’étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de son diamètre du côté des abscisses positives, mais elle est limitée du côté opposé par la parallèle AB qui lui est tangente en B (189, 2“).

Si p est négatif, la parabole s’étendra indéfiniment du côté des abscisses négatives et sera limitée dans le sens contraire.

* Il est bon de remarquer que cette condition B5 — AAC=0 revient à % dire que, dans l'équation du second degré , les trois termes du deuxième degré forment un carré parfait .