B’+CA-C

Exemples. Rapporter à leurs asymptotes les hyperboles représentées par les équations

ky* — z>xy-\-;i? — y-\-\ =0 , 2 y' — 3 xy — Qjf-f-y-^-x — 1=0.

232. Supposons maintenant que B1 — 4AC=0 : les trois termes du second degré formeront un carré parfait, et on pourra en conséquence ramener l’équation [1 ] à la forme

Cr + N-r)*+ P/+ Q* -h R = 0 [1 71,

de sorte qu’il s’agira de réduire cette équation à

Le moyen le plus simple d’effectuer cette réduction est de changer d’abord la direction des axes, en conservant l’origine. Substituons donc dans l’équation [17] les valeurs de x et de y données par les formules

x = sé cosa cosa', y~sé sina-[~y sina',

et l’équation résultante sera de la forme

* (A,y-{-B'Æ7+iyy-i-Ey-fR=o [is],

dans laquelle

A' = sina'-j-N cosa*, B,=sina-}-Ncosa,

0=P W-f-Qcosa', Ef=P sina-}-Q cosa.

Le coefficient du rectangle des variables étant A'B', on voit que pour le faire évanouir, il faudra poser A'B'= 0, et partant A'= 0 ou B'= 0 ; donc

Quand on fait évanouir de V équation d une parabole le rectangle des variables, le carré de C une de ces variables disparait en même temps.

Supposons qu’ayant laissé a! indéterminé , on ait posé B'= 0, on en tirera

tanga = — N.

La direction de l’axe des x étant ainsi déterminée, on pourrait, en disposant convenablement de a', faire évanouir de l’équation [18] la première puissance deÿ en posant 0=0;

de sorte qu’en transportant ensuite l'origine au point où l’axe des £ coupe la parabole, on ramènerait son équation à ne plus contenir que le carré de^J et la première puissance de d, et c’est là le but auquel nous tendons. Mais, en suivant pette marche, on'se priverait de la faculté d’examiner s’il y a plusieurs systèmes d’axes relativement auxquels l'équation de la courbe peut être ramenée à la forme E/.r = 0. Nous

allons donc laisser a' indéterminé et transporter les axes parallèlement à eux-mêmes au moyen des formules

tfz=a- ÿ=b-\-y,

a et b étant les coordonnées de la nouvelle origine. L’équation [18] deviendra 4® cptte manière (J. 82)

-Hy | +m

Le second et le quatrième fermes de pette équatipn sont les seuls qui soient fonctions de q et de b , pt, par conséquent, les seuls que l’on puisse faire évanouir en disposant de ces deux indéterminées. On s’en débarrassera donc en posant

2A^-f-D' = 0, AW+Dfo-f E'«-f R = 0, .

équations que l’on peut remplacer par

2A^-|-iy==0, Dr6-f2E'a-|-2L=0.

La première de pes dptuf équations donnera pour b uqe valeur réelle et finie ; car, pour que A' fût nul , il faudrait que l’on fît ou =« -j-w, ce qui ne se peut. En substituant cette

valeur de b dans la seconde, on trouvera une pareille valeur pour a; car E' ne peut pas être nul, sans quoi l’équation

Ay*4-Dy-f-EV+n=:o

ne représenterait pas une parabole *. Donc on pourra tou-

* Pour que E' fût nulle , il faudrait que l’on eût P sina-f-Q cos«=0, c’est-à-dire que l’équation [1] donnerait Dsina-|~Eeosa = 0, d’où E B BD

tj»ng<» = — 2Â! E:=2X»d’0Ù BD— 2AE=0, ce qui

ne saurait être, puisque nous supposons que l’équation [Il représente une pafâtypie (443).

jours trouver pour chaque valeur arbitraire donnée à al un couple de valeurs réelles et finies pour « et b , et ramener, par conséquent, l’équation générale des paraboles à la forme

= 0 ou y"'=2p.é'.

Il y a donc une infinité de systèmes d’axes coordonnés par rapport auxquels l’équation de la parabole ne renfermera que le carré de l’une des variables et la première puissance de l autre; et, parmi tous ces systèmes, il y en a un seul qui est rectangulaire. En effet, puisque l’angle a! est resté indéterminé, on peut le faire égal à a — j— 90°, et alors les a*es des coordonnées se couperont à angles droits; mais les éqpations 2A'V>-|-iy=Q et 211 = 0 ne détermine-

ront qu’un seul couple de valeurs correspondantes pour a et b.

233. La forme de l’équation y*= 2px montre que l’axe des abscisses partage en (Jeux parties égales toutes les cordes parallèles à l’axe des^; et, comme il y a une infinité de systèmes d’axes par rapport auxquels l’équation de la parabole est réductible a la forme y'= 2 px, et que l’axe des x de chacun de ces systèmes fait le meme angle a avec l’axe des abscisses primitives (tanga = — -N) on en conclut que la parabole a une infinité de diamètres parallèles , et parmi eux un seul axe de symétrie (19J8J.

234. Il y a plus, c est que tous les diamètres de la parabole sont parallèles. Considérons, en effet, un système quelconque de cordes parallèles : nous pourrons prendre pour valeur de al l’angle qu’elles font avec l’axe des abscisses primitives, et en substituant cette valeur de al dans les expressions de a et de b, nous trouverons pour ces quantités un couple de valeurs réelles et finies. Si donc nons transportons l’origine des coordonnées au point déterminé par ces valeurs de a et de b , et que nous prenions pour axe des^7 une parallèle aux cop’des dont il s’agit, et pour axe des x la droite qui fait avec l’aiiGien axe des x l’angle dont la tangente est — N, nous trouverons yi=2px pour l’équation de notre parabole ; mais alors l’axe des x est le diamètre qui coupe en deux, parties égales le système des cordes proposées, et il fait encore avec l’axe des abscisses primitives l’angle constant a; donc tous les diamètres sont parallèles (190).

235. La quantité 2 p= — pouvant être positive ou négative; car on peut donner à a! une valeur qui rende sinaf -{-N cosa' ^0, l’équation de la parabole peut recevoir l’une ou l’autre des deux formes

j*=2px ou y1— — 2px\

mais, comme la seconde se déduit de la première en y changeant x en — x, on voit que le lieu de la seconde n’est que celui de la première, auquel on aurait fait faire une demi -révolution autour de l’origine. Nous supposerons donc désormais que 2 p soit positif. Cette constante se nomme le paramètre du diamètre de la parabole sur lequel on compte les abscisses (79). *

Jfc. *236. Calculons la valeur de 2 p= — J’observe, pour cela, que tanga étant égale à — N, il en résulte

et par suite,

A'=sina'-

cos a = et sinar=

y'I+N* ÿl+H»'