L-* (A + Qsin’O
et
a'tr
(B’ — 4AC)sin*9
Cette dernière équation donne immédiatement
frZisitt9=-
et en divisant la première par la seconde , où trouve
Les seconds membres de ces deux formules étant des quati- •tités constantes, on en déduit cés théorèmes attribués au gédmètre grec Apollonius :
1 0 L'aire au parallélogramme construit sur deilx diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole est cohsla n te ; bai- httb sifiô est l’aire d’un parallélogramme qui a pour côtés contigus 2 a èt 2 bj et 6 pour angle compris entre
eux, et est, par conséquent, égale à celle du rectangle construit sur les axes principaux de cette courlse.
2“ La somme des carrés de deux diamètres conjugués d’une ellipse est constante , et est, par conséquent , égale à la somme des carrés de ses axes.
3° La différence des carrés de deux diamètres conjugués d'une hyperbole est constante, et est, par conséquent, égale à la différence des carrés de ses axes* .
• 220- Si dans l’équation [14] on suppose 6=90°, elle deviendra
s*— (A+C>— ^(B*— 4AC)=0 [15], *
équation dont les racines sont les valeurs des coefficients A1 et Cf,., quand la courbe est rapportée à ses axes. Pour nous conformer à la convention faite au n° 224 de compter les abscisses sur l’axe transverse, dans le cas de l’hyperbole , nous devrons prendre pour valeur de G celle de ces racines qui serade signe contraire à F*.
Pour que les axes d’une hyperbole soient égaux , il faut que A'= — G (224), et pour que l’équation ci-dessus ait ses racines égales et de signes contraires, il faut que A-|-C=0.
On appelle hyperbole équi/atère celle dont les deux axes sont égaux. On voit donc
1 0 Que les conditions nécessaires et suffisantes pour que P équation générale du second degré représente une hjpert bole équilatère sont que les coefficients des carrés des varia-
* On arrivera immédiatement à ces résultats en répétant identiquement sur les équations
£fc-=n
qui représentent respectivement une ellipse ou une hyperbole rapportée à scs axes principaux et à un système de diamètres conjugués , les raisonnements et les calculs que nous avons faits au n° SSo sur les équations [4] et [1 0]. On trouvera ainsi
■+■ a' b' ~ ^ 0*1/' sinV— a)’
d’où ab=zéb' sin(a' — a);
1^1 1 „ <é±b' a'dzb''
té a* sin’ («'—oc) \b''— d')’ °U a'Ié ~ d'b" smV^T)’
et par conséquent a* ± = a'* rfc b1'.
blés soient égaux et de signes contraires , et qu’on ait en même temps (208)
AE* — BDE -f- CD,-f-F(B’ — 4 AC) ^ 0 .
2° Que les asymptotes d’une hyperbole équilatère se coupent à angles droits , et réciproquement ; car l'équation qui détermine les coefficients angulaires des asymptotes est Ac*-j-Bc-|-C=0, de sorte que c’est là une propriété caractéristique de l’hyperbole équilatère.
3° Que , parmi les hyperboles , celle qui est équilatère a seule des diamètres conjugues égaux, et que, dans une pareille hyperbole, les deux diamètres de chaque système sont égaux.
229- Le calcul des valeurs de M et <fe G peut se faire d’une manière plus directe, et partant plus simple, lorsque l’on veut rapporter t ellipse ou t hyperbole à ses axes principaux.
En supposant, en effet, que l’équation [10] soit rapportée à un système de coordonnées rectangulaires, on l’aura obtenue en remplaçant , dans l’équation [4], x et y par leurs valeurs données par les formules (99)
• x = x! cosa-r-y1 sina, y— si sina -j-^'cosa.
Si donc on substitue dans l’équation [1 0] à si et à y1 leurs valeurs
si=sico$a — ^sina, ^=:^cosa — x sina tirées de ces formules, on devra rètrouver identiquement l’équation [4]. Le résultat de cette substitution est
A'(^Jcos*a — 2x/sina cosa-j-x’sin’a)
-f-C(y sin,a-(-2x^'sinacosa-{-x,cos,a)-|-F=0. Donc, en identifiant avec [4]
A = A' cos’a -j- G sin’ a , C = A' sin*a G cos ’a ,
B = — 2(A' — G) sina cosa; ces équations donnent
A-fC = A'4-C', A — C=(A' — C) cos 2a,
B = ■ — (A' — G) sin 2a,
d’où tang2a= — £Z q [16].
On tire de cette valeur de tang 2a ,
cos2a=±
7bV+(A— C)*'
Cette valeur est double , parce que l’éqüation [1 6] détermine à la fois l’axe des £ et l’axe des y3 . En effet, si l’on appelle
2a, le plus petit des angles positifs qui ont - — A ^ pour tan-
gente, on aura 2a = 2a,-}- Ait , d’oii a=oti-};- Mais l’aû“
gle a<[2ir(9ü) et a,<; donc dn doit avoir k ;> 0 èt
a,-}- ^ ou a, ■< — ~ et comme l’angle a, est
fjosiÜf , il faut que k sbit < 4 ; donc k ne peut avoir poür valeurs que
qui donnent
Or, la première et la troisième de ces valeurs déterminent une seule droite; la seconde et la quatrième donnent aussi une seule droite, mais perpendiculaire à la première, de sorte que , si l’on prend l’une d’elles pour l’axe, des £, l’autre sera celui ,« des jJ. Ce qui prouve encore qüe l’ellipse et t hyperbole ont un seul système île diâmètres conjugués rectangulaires.
En substituant, dans l’expression de (A'~0), la valeur trouvée ci-dessus pour cds 2a , il viendra
et , par suite ,
A'=i[A-fC± v/F=h(A-C)«],
0= 1 [A + C qp VB'+(A-C)*],
formules dans lesquelles lés signes se correspondent.
Si l’on observe que sJ Cy’=\ B* — 4AC-(-(A-(-C)’, on veh;â que, dans le cas de l'hyperbole, il faudra, pour se
agle
Digitizi
conformer à la convention du n° 224, prendre lfe signe supérieur ou le signe inférieur, selon que F'^ 0*.
250. Nous avons remarqué que V équation xy = m* représente une hyperbole rapportée à ses asymptotes (173), et qu ainsi 1 équation [1] doit être réductible à cette forme. Mais, pour ne rien laisser à désirer sur Ce sujet , nous allons nous propose!- cette questions générale : Quelles relations faut-il établir entre les coefficients de l’équation générale du second degré pour qu’on jiuisse la ramener à ta forme xy = né?
D’abord il est évident que la courbe que l’on considère a un centre où est placée l’origine des nouvelles coordonnées : par conséquent, on doit déjà avoir entre les Coefficients de l’équation [1 ] la relation
Cette condition étant supposée remplie , oit pourra transporter l’origine au centre , ce qui donnera (2 1 9)
A71-j-Ba.^-|-CIr5-J-F==0 [4],
les nouveaux axés pouvant être supposés rectangulaires. Il s’agît dotlc dé faire évanouir de cette équation les carrés des deux variables, et, par Conséquent, il faudra y réhiplacer x et y par leurs valeurs données par les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un sys- ». i tèhle dé coordonnées obliques, ed cdttservdnt l’origine, afin
* Cette méthode a cela de remarquable qu’elle fournit le moyen à' obtenir l'équation d'une ellipse ou d’une hyperbole rapportée à ses axes prinri/xirr.T , sans passer par le calcul tle l’équâtion [0], fet on devait prévoir qu’elle serait plus simple que la méthode directe , puisqu’elle fait porter la transformation des coordonnées sur l’équation la plus simple.
On pourra de meme éviter le calcul de cette équation , lorsque la courbe devra être rapportée à un système de diamètres conjugués, à l’aide de la rtléthode de M. Chevillard (Ü2;i) ; mais il faudra éliminer A' et C' entre les équations [1 1]; [12], [13], afin d’avoir une équation qui détermine la direction des nouveaux axes par rapport aux anciens. 11 suffira, pour cela, de multiplier les deux premières respectivement par sin a sin a et par cos a cos a' et d’ajouter membre à membre les équations produites, en ayant egard à la formule [13], et ou retombera ainsi sur l’équatioh [7].
d’introduire deux indéterminées dans cette équation. Nous obtiendrons ainsi l’équation [6], et la possibilité d’effectuer la réduction demandée dépendra par conséquent de la possibilité de trouver des valeurs réelles de a et de a' qui satisfassent aux deux équations
A sinV-j-B sinaf cosa'-f-C cosV=0,
A sin’a-j-B sina cosa-j-Ccos*a=0,
formées en égalant à zéro les coefficients de^et de ■z'* dans cette équation [6]. En divisant la première de ces équations par cosV et la seconde par cos’œ , on trouvera
A tangV-|-B tanga'-j-C=0,
A tang’a-j-B tanga -j-C=0.
* Ces deux équations ont les mêmes racines ; et comme tanga' et tanga ne peuvent pas être égales, il s’ensuit que chacune d’elles détermine à la fois ces deux quantités et que, par conséquent, on doit avoir
sans quoi on ne pourra pas faire évanouir à la fois les carrés des variables de l’équation [6]. Si cette condition est remplie, on pourra substituer les valeurs trouvées pour a et pouV a' dans l’équation [6] , qui se réduira alors à
B,x^'-J-F'=0, ou xy— m'.
Cette équation représentera une courbe si, outre la condition B* — 4AC> 0, on a encore F^O, ce qui s’accorde avec ce
que nous avons dit au n° 222.
231. Si l’on veut calculer B', on pourra le faire assez simplement en appliquant la méthode du n° 223 aux équations
A^-|-Bx/-J-Gz,-|-F=0 et B'.r^-|-F,= 0.
On trouvera
t B' cos a cos a' B'(sma'cosa-|-sinacosa,)
sin*(a' — et)’ itoV—a) »
P B' sina sina'.
sin'jV — a) ’
• » iip B'1 . , „ B'cosfa' — a)
puis, B‘— 4AC=-r-io — r, A-4-C= t-ï-Aj — 4,
r sur (a — a) 1 sur la — al
sin* (a' — a)
fl
ri
'-Si
partant
B'4AC+(A+C)’ ou B’4~(A— C)'=^£
et enfin B'=± -B1~4A-— .
