CO CO

dl

de de

es

SOMME DES ANGLES d'UN TRIANGLE, d'uN POLYGONE.... 6l

extérieur (Vun triangle, c'est-à-dire tout angle formé par un côté et le prolongement d'un autre côté, est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

Corollaires.

79. Un triangle ne saurait avoir qu^un seul angle droit et, a fortiori, qu^un seul angle obtus.

80. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires,

81. Un angle quelconque d^un triangle est le supplément de la somme des deux autres. D'où il suit que si deux triangles ABC, A'B'C, ont deux angles égaux chacun à chacun, A = A' et B :^ B', le troisième angle C du premier triangle est égal au troisième angle G' de l'autre. Il en résulte que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et deux angles égaux chacun à chacun, que ces angles soient ou non adjacents au côté égal.

82. Deux triangles ABC, A'B'C, qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun. Ont leurs angles égaux chacun à chacun.

En effet, deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires étant égaux ou supplémentaires, on a

ou

A-f.A'=2rf,

ou

ou

On ne peut donc faire que les trois hypothèses suivantes :

B-HB'=2rf, Gh-G'=2^,

B-hB'=:2rf, G-i-G'=2«',

B = B', et, par suite (81 ), G = G'.

62 SOMME DES ANGLES D'uN TRIANGLE, d'uN POLYGONE....

Or, dans le premier cas, la somme des angles des deux triangles vaudrait 6 angles droits; dans le second cas, cette somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A + A'= 2 A. La troisième combinaison est donc seule possible.

THÉORÈME

83. La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ABGDEF est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux

iJig. 52).

Fig. 52.

En joignant l'un des sommets A à tous Içs sommets non adjacents, on décompose le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux ; car chaque triangie contient un seul côté du poljgone, excepté les deux triangles extrêmes, qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme des angles du polygone est égale à celle des angles de tous ces triangles ; elle vaut donc autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles, c'est-à-dire autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux.

ScoLi

84. Si l'on désigne par n le nombre des côtés du polygone, la somme de ses angles aura pour expression, en prenant l'angle droit pour unité,

2(/î— 2) ou 2/1—4.

Si l'on fait dans la formule précédente /i = 4? on

SOMME DES ANGLES d'uN TRIANGLE, d'UN POLYGONE.... 63

trouve 4 pour la somme cherchée. La somme des angles d^un quadrilatère est donc égale à quatre angles droits; d'oîi il suit que, si un quadrilatère a tous ses angles égaux, chacun de ces angles est droit.

Corollaire.

85. La somme des angles qui! on forme à Vextérieur d'un polygone convexe, en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quatre angles droits {fig* 53).

Fig. 53.

En eflFet, la somme d'un angle extérieur quelconque NAG et de l'angle intérieur adjacent FAB est égale à deux angles droits; donc, la somme des angles, tant întérieurs qu'extérieurs, du polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de sommets ou de côtés. Cette somme surpasse donc de quatre angles droits (84) la somme des angles intérieurs : en d'autres termes, la somme des angles extérieurs est égale à quatre angles droits.

86. Il convient de remarquer qu'un polygone convexe ne saurait avoir d'après cela plus de trois angles intérieurs aigus; sans quoi il aurait plus de trois angles extérieurs obtus, et la somme de ses angles extérieurs surpasserait quatre angles droits.

6| SOMME DES ANGLES D'uN TRIANGLE, d'UN POLYGONE....

Eir Arr.il* AS At nTrihlÀmAst.

) pris 511 joi- Bspecaêmes

. d'un met A 3e des

3, suiégale,

)sitioh

é BG, égal à i angle isocèle A du

angles )le du

)sition

) est le a base i Ddu

socèle, seBC,

lAA")

SOMME DES ANGLES d'uN TRIANGLE, d'uN POLYGONE.... 65

soit égale à la distance du sommet intérieur (A' ou A) aux. extrémités de la base commune, l'angle à la base du triangle isocèle A'BC est égal au quart de son angle au sommet, et Tangle à la base du triangle isocèle A'^BC est égal à deux fois et demie son angle au sommet.

iO. Si, d'un point A, pris hors d'une droite xy^ on mène à cette droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, . . . , situées d'un même côté de la perpendiculaire et telles que les angles BAC, CAD, DAE, ... soient égaux , les distances successives des pieds des obliques vont en croissant, et l'on a