PROPRIÉTÉS DES ARCS ET DES CORDES. I
En effet, soient O le centre de la circonférence et I le point de rencontré du diamètre AB et de la corde CD. Les rayons OC, OD, étant, par rapport à la perpendiculaire 01, deux obliques égales, s'écartent également du pied de cette perpendiculaire. On a donc CI = ID.
En d'au 1res termes, la corde CD est divisée au point I en deux parties égalés.* Dès lors, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en particulier le point B, est équidistant des points C et D. Les cordes BC et BD sont donc égales, et, par suite, les arcs BC et BD sont aussi égaux. En d'autres termes, l'arc CBD est divisé au point B en deux parties égales. On démontrerait de même que Tare CAD est aussi divisé en deux parties égales au point A.
Co
BOLLAIRES.
134. La droite AB satisfait, d'après cela, aux cinq conditions suivantes : elle passe parle centre O, par le milieu I de la corde CD, et par les milieux A et B de chacun des arcs que cette corde sous-tend ; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. Or, deux de ces cinq conditions suffisent pour déterminer la droite AB; car on sait que, par deux points, on ne peut mener qu'une droite, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite, assujettie à deux des cinq conditions énoncées, rem-
lETES DES ARCS ET DES CORDES.
lent les trois autres. De là une séri^ de le lecteur énoncera sans difficulté, et nous ne citerons que les siiivantes :
ulaire élevée sur le milieu d^une le centre et par le milieu de chacun te corde sous-tend, Hrique des milieux d'un système de s est le diamètre perpendiculaire à la une de ces cordes, [La circonférence ymétrie tous ses diamètres (IH ).]
THÉORÈME
2 même cercle ou dans des cercles
les égales sont également éloignées
or des inégales, la plus petite est la i centre {fig- 86).
deux cordes égales AB, CD, et soient pendiculaires menées du centre O sur Les longueurs de ces perpendiculaires ances du centre à ces deux cordes, et il erque ces distances sont égales. Or les les OEB, OFC sont égaux comme ayant le et un côté égal, savoir : OB = OC
PROPRIETES DES ARCS ET DES CORDES. Io5
comme rayons d'un même cercle, et EB = FG comme moitiés de cordes égales, puisque les pieds E et F des perpendiculaires OE et OF sont (133) les milieux des cordes AB et CD. Donc OE, troisième côté du triangle OEB, est égal à OF, troisième côté du triangle OFC. 2** Soient les deux cordes inégales AG et GD. On suppose AG moindre que GD, et il faut démontrer que la perpendiculaire OH, menée du centre sur la première corde, est plus grande que la perpendiculaire OF. Par le point A, menons une corde AB égale à GD. La distance OE du centre à cette corde sera égale à OF, et il reste à démontrer que OE est moindre que OH. Or, la corde AG étant moindre que la corde AB, l'arc AG est inférieur à l'arc AB, et, par suite, le centre O du cercle et le milieu H de la corde AG sont situés de part et d'autre de la droite AB. Donc AB rencontre OH en un point I situé entre O et H, et l'on a 01 <^ OH. Mais, puisque OE est perpendiculaire sur AB, 01 est oblique,
et l'on a
OE<OI; donc, a fortiori,
