suit évidemment de cette définition que la

surface sphérique est engendrée par la révolution d’une demi-circonférence autour de son diamètre.

542. C)n appelle calotte la portion de la surface sphérique détachée par un plan. La calotte est engen-

Fig. 240. drée par un arc AC qni tourne autour d’un diamètre CD mené par une de ses extrémités. La circonférence décrite par l’autre extrémité À de l’arc est la base de la calotte, et la projection CI de l’arc générateur sur l’axe en est la hauteur.

343. L’espace compris entre la calotte et le plan de sa base se nomme segment sphérique.

344. Une zone est une portion de la suiface sphérique comprise entre deux plans parallèles. Elle est engendrée par un arc AF qui tourne autour d’un diamètre CD qui ne rencontre pas cet arc. Les circonférences décrites par les extrémités de cet arc sont les bases de la zone, et sa projection sur l’axe eu est la hauteur.

348. L'espace compris entre une zone et les plans qui la déterminent est ce qu'on nomme une trancue sphérique.

346. Un fuseau est la portion CGDNC de la surface sphérique comprise entre les faces d’un angle dièdre dont l’arête passe par le centre de la sphère ; et la partie de la sphère comprise entre le fuseau et les faces de cet angle dièdre est un onglet.

347. Un secteur sphérique est le corps engendré par un secteur circulaire AOC qui tourne autour de l’un des rayons qui le limitent , de sorte qu’il se compose d’un cône et d’un segment adossés par leur base commune.

Théorème I.

Fig. 241. 348. Quatre points A, B, C, D, qui ne sont pas

situés dans un meme plan , déterminent une sphère.

Soient F et G les centres respectifs des deux circonférences que l’on ferait passer par les points A, B, C, et C, D, A. Élevons en ces points les perpendiculaires FI et G K. aux plans de ces circonférences, et je dis qu’elles se couperont. Si nous abaissons, en effet, des perpendiculaires des points F et G sur AC, elles iront concourir au milieu M de cette droite (81). et doter-

DE LA SURFACE Sl’nÉlUQUE.

mineront un plan perpendiculaire à AC (431), et partant aux plans ABC et ACI) (478): donc les perpendiculaires FI et G K. à ces plans respectifs seront clans le plan FMG (480); donc elles se couperont, sans quoi FM, qui est perpendiculaire sur FI, le serait aussi à sa parallèle G K. Mais MG l’est déjà sur cette droite; donc on aurait du point M deux perpendiculaires MF et MG sur la même droite CK, ce qui est absurde, à moins que MF et MG ne coïncident. Mais alors les plans ABC et AI)C auraient deux droites communes FMG et AC, et ainsi n’en feraient qu’un seul , ce cjui est contre l'hypothèse ; donc les droites FI et G K. se coupent en un certain point O. Ce point, comme appartenant à la première, est équidistant des trois points A, B, C ; il est aussi également distant des points A, C, D, puisqu’il se trouve sur la seconde ; donc il est à la fois équidistant des quatre points A, B, C, D. Donc la surface sphérique décrite du point O comme centre avec le rayon OA passera nécessairement par ces quatre points. Donc par quatre points qui ne sont pas situés dans un même plan, on peut toujours décrire une surface sphérique.

Je dis maintenant que l’on ne pourra en faire passer qu’une seule. Imaginons, en effet, une seconde surface sphérique par les quatre points A, B, C, D. Son centre sera nécessairement sur la perpendiculaire FI, sans quoi, le pied de la perpendiculaire abaissée de ce centre sur le plan ABC étant différent du point F, ce centre ne serait pas équidistant des trois points A, 1Î,C. I’ar la même raison, il se trouvera aussi sur la perpendiculaire GK, et coïncidera, par conséquent, avec le point O. Les deux surfaces sphériques auront donc le même centre et le même rayon, et par conséquent n’en feront qu’une.

849. Schoi.if. Si les quatre points A,B,C,D, sont dans un même plan , les deux perpendiculaires F I et G K seront parallèles; et, comme le centre, de la surface sphérique qui passe par ccs quatre points doit être sur chacune d’elles, ainsi (pie nous venons de le prou-

ver, on voit qu’il sera impossible de décrire une pareille surface par les quatre points A, B, C, D, à moins que FI et G R ne coïncident, ce qui exige que les quatre points se trouvent sur une même circonférence; et, en effet, tous les points de la perpendiculaire élevée par son centre sur son plan en sont équidistants.

Théorème II. ^

Fig. 240. îîiîO. Toute section A M B , faite dans une surface sphérique par un plan , est une circonférence de cercle ; et si du centre O de la surface on abaisse une perpendiculaire OI sur ce plan, elle passera par le centre de la circonférence , et percera , par conséquent, la surface en deux points C et D, dont chacun sera également éloigné de tous les points de cette circonférence , et que Ton appelle ses pôles.

En effet , si l’on mène des rayons à tous les points de la courbe d’intersection A MB, ces rayons seront des obliques égales sur le plan de cette courbe, et, par conséquent, tous ces points seront équidistants du pied de la perpendiculaire OI : donc AM B est une circonférence dont I est le ceutre; donc les points C et D sont chacun également éloignés de tous les points de cette circonférence.

«ilSl. Corollaire. Si l’on observe que dans le triangle rectangle OIM on a :

on verra que, la somme des carrés des deux droites O I et I M étant constante, si l’une de ces lignes augmente ou diminue, l’autre diminue ou augmente en même temps; d’où il suit :

1° Qu’un cercle de la sphère est d’autant plus grand ou plus petit que son plan passe plus près ou plus loin du centre de ce corps;

2° Que, quand il passe par ce point , il a le même centre et le même rayon que la sphère. C’est là son maximum : car la distance OI est alors minimum.

De là la distinction des cercles do la splièrc en grands et en petits cercles. On appelle grand cercle celui dont le plan passe par le centre de la sphère, et petit cercle celui dont le plan il ’y passe point ;

3° Que deux petits cercles égaux sont équidistants du centre de la sphère, et réciproquement ; et que de deux cercles inégaux le plus grand est le plus près du centre , et réciproquement.

1552. Il suit de la définition des grands cercles de la sphère,

1 0 Que tous les grands cercles sont égaux ;

2° Que deux grands cercles se coupent en deux parties égales : car leur ligue d’intersection est un diamètre commun à tous deux, puisqu’elle passe par le centre de la splièrc;

3“ Que par deux points donnés sur une surface sphérique , on peut toujours faire passer un arc clc grand cercle, mais que l’on ne peut en faire passer qu’un seul, puisque les deux points donnes et le centre de la sphère déterminent un plan. Cependant, si les deux points donnés étaient les extrémités d’un diamètre, on pourrait les joindre par une infinité d’arcs de grands cercles, puisque, par une même droite, on peut conduire une infinité de plans.

4° Tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux parties égales qu’on nomme hémisphère : car, si après avoir renversé l’une des deux parties, on la place sur l’autre, en faisant coïncider leurs hases, les surfaces qui les terminent devront se recouvrir exactement, sans quoi tous leurs points ne seraient plus à la même distance du centre.

553. Scholif. i. La perpendiculaire abaissée du centre d'une sphère sur un plan sécant quelconque satisfait aux cinq conditions suivantes : \ ° passer par le centre de la sphère ; 2’ être perpendiculaire au plan sécant ; 3° passer par le centre du cercle dé intersection ; 4° et 5° passer par chaque pôle de ce cercle. Comme deux quelconques de ces conditions suf-

fiscnt pour déterminer une ligne droite, il en résulte que toute droite qui satisfera à ces deux conditions satisfera en même temps aux trois autres (82).

;î;}4. Scholie ii. Si Von joint un pôle d'un cercle avec les différents points de sa circonférence par des arcs de grand cercle , tous ces arcs seront égaux comme sous-tendus par des cordes égales, et de plus ils seront perpendiculaires à la circonférence (478) : car, on dit qu’un arc est perpendiculaire sur un autre quand leurs plans se coupent à angles droits (on verra plus tard («$« 56 ) la raison de cette dénomination).

L’arc de grand cercle CN qui va d’un pôle dé un grand cercle FNG a sa circonférence, est un quadran (désormais nous emploierons ce mot pour désigner le quart d’une circonférence de grand cercle); car, l’arc CN est compris entre les côtés d’un angle droit CON, et décrit son sommet O comme centre.

Théorème III.

8{$iî. Si l’on fait tourner un compas sphérique (on appelle ainsi un compas à pointes recourbées) autour d'une de ses pointes fixée en C, sur la sphère , Vautre pointe , en glissant sur sa surface , y décrira une circonférence dont la pointe fixe occupe un des pôles.

Menons, en effet, le rayon OC et joignons le centre O avec tous les points A , M, B. . . . de la courbe décrite. Les droites CA, CM, CB.... sont toutes égales par construction; donc les triangles CAO, CMO, CBO. . . . sont équilatéraux entre eux; donc les perpendiculaires abaissées de leurs sommets A, M, B. . . . sur la base commune C O iront la couper au même point I, et détermineront ainsi un plan perpendiculaire au rayon CO. La courbe AMB est donc bien une circonférence dont C est un des pôles.

Remarquons que , si l’ouverture du compas sphérique est égale à la corde qui sous-tend un quadran, les angles AOC, MOC, BOC.... seront droits et

qu’ai nsi tous les rayons AO, MO, CO. . . . étant perpendiculaires à OC, tous les points de la courbe A JM 11 seront dans un plan passant par O , de sorte que cette courbe est une circonférence de grand cercle.

t>i>6. Une courbe pouvant être considérée comme une ligne brisée dont les côtes sont infiniment petits, puisqu’on peut regarder la tangente à cette courbe comme ayant un élément de commun avec elle [«>07, (')] ou voit que la mesure naturelle de l’inclinaison de deux courbes qui sc coupent est l’angle formé par les deux cléments qui correspondent à leur point d’intersection, c’est-à-dire par les tangentes menées à chaque courbe en ce point. Nous dirons donc que V angle formé par deux courbes qui se coupent est celui même que forment les tangentes à leur point de section.

Ainsi, l' angle formé par les deux arcs de grand cercle CGD et CN D est précisément l'angle SCTj.jg.240. formé par les tangentes CT et CS. Or, cet angle est la mesure de l’angle dièdre GCDN que font leurs plans ; donc on peut prendre l’un pour l’autre. C’est dans ce sens que l’on dit que l’angle de deux arcs de grand cercle est l’angle dièdre que font leurs plans.

Si du point C comme pôle , et avec une ouverture de compas égale à la corde d’un quadran , ou décrit l’arc G N entre les côtés de l’angle sphérique C, et que l’on tire les rayons ON et OG, on formera un angle NOG, qui aura pour mesure l’arc GN. Mais cet angle est égal à SC T (4i>8) ; donc l'angle formé par deux aies de grand cercle a pour mesure l'arc compris entre eux , et décrit de son sommet comme pôle.

Théorème IV.

i>o7. Le plan langent a la sphère est pcrpendiculaiie au rayon mené au point de contact.

En effet, on peut le regarder comme déterminé par les tangentes CS et CT à deux circonférences de grand cercle tracées par le point C; or, ces deux tangentes sont perpendiculaires au rayon CO (84) : donc le plan tangent est lui-même perpendiculaire à CO.

On démontrerait, comme au n° B», que le plan tangent à une sphère n’a qu’un point commun avec sa surface.

Théorème V.

888. Réciproquement, tout plan perpendiculaire a T extrémité d’un rayon O G est langent à la sphère.

Car, si par le rayon OC on mène deux plans quelconques, leurs traces sur le plan donné seront tangentes aux grands cercles suivant lesquels ils coupent la sphère : donc le plan langent coïncide avec le plan dont il s’agit.

Un démontrerait, comme au n° 88, que tout plan qui n’a qu’un point commun avec une sphère lui est tangent.

Théorème VI.

889. L ’ intersection de deux sphères est un cercle, et la droite qui joint les centres est perpendiculaire au plan de ce cercle, et passe par son centre.

En effet, si l’on joint chaque point de la courbe d’intersection avec les centres des deux sphères, on formera une infinité de triangles isocèles équilatéraux entre eux : donc les perpendiculaires abaissées de leurs différents sommets sur leur base commune, c’cst-àdire sur la droite qui joint les centres, seront égales, et iront la couper au même point; elles formeront donc un cercle dont le centre est sur cette droite , et dont le plan lui est perpendiculaire.

Théorème VII.

860. Pour que deux sphères se touchent , il faut et il suffit que la distance des centres soit égale à la somme ou il la différence de leurs rayons.

Voyez les démonstrations des n os 98, 99, 100 et

Théorème VIII.

861. Pour que deux sphères se coupent, il faut et il suffit que la distance des centres soit plus pc-

tite que la somme de leurs rayons, et plus grande que leur différence.

Voyez la démonstration du n° 103.

362. On appelle triangle sphérique la portion de la surface de la sphère comprise entre trois arcs de grand cercle moindres chacun qu'une demi-cirférence ('); telle est la figure ABC. Les plans de ces Fig. 242. grands cercles forment un angle trièdrc dont le sommet est au centre de la sphère, cl dont les faces et les angles dièdres ont pour mesures respectives les côtés

et les angles correspondants de ce triangle. Ainsi, la théorie des triangles sphériques se ramène immédiatement a celle des angles trièdres. De cette remarque découlent, comme conséquences directes, les propositions suivantes :

Théorème IX.

363. Dans tout triangle sphérique un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence.

Car, une face quelconque d’un angle trièdrc étant plus petite que la somme des deux autres (493) , ou voit que sa mesure est plus petite que la somme des mesures de ces deux autres.

( * ) 11 existe cependant des triangles sphériques dont les côtés sont plus grands qu’une demi-circonférence de grand cercle : car, si l’on achève la circonférence dont AB fait partie, et que de l'hémisphère CABDon rctrauchc le triangle ABC, dont Fig. 242. les trois côtés sont supposés satisfaire A la définition , la portion restante A l)B C , comprise entre les trois arcs de grand cercle AD B, ACetBC, sera ainsi un triangle sphérique; mais le côté A D B est plus grand qu’une demi-circonférence. Toutefois ou voit que, si l’on connaissait les auglcs et les côtés du triangle ARC, on aurait immédiatement les angles et les côtés du triangle AD B C. C'est pour cela que l'on a exclu de la définition des triangles sphériques ceux qui sont tels que celui-ci.

Théorème X.

964. Dans tout triangle sphérique la somme des l/vis cotés est plus petite que la circonférence d’un grand cercle.

Car, la somme des trois faces d’un trièdre étant moindre que quatre droits (494), la somme de leurs mesures est moindre que la mesure de quatre droits, c’est-à-dire que la circonférence d’un grand cercle.

Théorème XI.

969. La somme des angles de tout triangle sphérique est plus grande que deux droits , et plus petite que six droits (499).

9(>6- Scholie. La somme des angles d’un triangle sphérique n’est pas constante comme celle des angles d’un triangle rectiligne; ainsi deux angles donnés ne déterminent pas le troisième, et un triangle sphérique peut avoir deux ou trois angles droits ou obtus.

Théorème XII.

967 Deux triangles sphériques appartenant à la même sphère ou à des sphères égales sont égaux dans quatre cas , savoir :

1° Lorsque leurs côtés sont égaux chacun a chacun ;

2° lorsque leurs angles sont égaux chacun h chacun ;

3" Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun a. chacun ;

4° Lorsqu’ils ont un côté égal adjacent a deux angles égaux chacun à chacun;

El qu’en outre leurs parties homologues sont sera-' blablement disposées.

On conçoit, en effet, que les angles trièdres correspondants à ces deux triangles étant superposables, ces triangles le seront aussi.