ET ELEMENTS

1 . cf J’avance mon bras clans l’obscurité, dit M. Biol « dans son estimable traité de physique; il rencontre « un obstacle qui l’empêche de s’étendre; ma main, « promenée sur cet obstacle, trouve qu’il est limite, « qu’il finit à certains endroits, commence «à d’autres, « et qu’autour de lui l’espace est libre : j’en conclus « que cet obstacle existe, ou paraît exister hors de moi, « dans une certaine portion de l’espace de laquelle « son existence m’exclut; d’après cela je l’appelle un te corps. Le premier de ces phénomènes , la limitation, « est le caractère de l’étendue Jtgurêe, c’est-à-dire « douée d’une forme. Le second, l’exclusion des autres ■< corps, est le caractère que l’on désigne par le nom •< d’ impénétrabilité. » L’étendue et l’impénétrabilité, voilà les deux propriétés essentielles de la matière. Or il est possible, sinon de réaliser, au moins de concevoir des portious de l’espace qui seraient, terminées de

toute part, sans être pour cela impénétrables : c’est là précisément ce que nous ferons dans tout le cours de cet ouvrage. Ainsi un corps ne sera, pour nous , qu'une portion de l'espace indéfini , pénétrable , divisible et figurée. Cette portion de l’espace a toujours trois dimensions : longueur, largeur et épaisseur. Cette dernière prend quelquefois le nom de hauteur ou de profondeur.

2 Les limites des corps s’appellent surfaces. Lps surfaces sont étendues en longueur et en largeur seulement.

3. Lorsque deux surfaces se rencontrent , leur intersection est leur limite commune, et ou l’appelle ligne. Ainsi les lignes sont les limites des surfaces. Elles ne sont étendues qu’en longueur.

4. Lorsque deux lignes se rencontrent, leur intersection est leur limite commune, et on l’appelle point. Donc les points sont les limites des lignes. Le point n’a pas d’étendue.

3. Un corps ne saurait exister sans réunir les trois dimensions de l’étendue. Ainsi les surfaces, les lignes et les points n’existent pas indépendamment du corps, de la surface , ou de la ligne auxquels ils servent respectivement de limites; cependant nous pouvons trèsbien, par une abstraction de notre esprit, les considérer isolément. Quand on se propose, par exemple, de mesurer la profondeur d’un réservoir, on ne s’occupe nullement de sa longueur et de sa largeur; tandis que si l’on veut en évaluer la surface, c’est de la profondeur au contraire qu’il n’est plus question. Mais on sent que si l’on a besoin de connaître la quantité d’eau contenue dans ce réservoir, on devra avoir égard à la fois à ses trois dimensions. En conséquence, nous étudierons successivement les propriétés des lignes, des surfaces et des corps considérés relativement à leur étendue, et nous apprendrons à les mesurer. Tel est l’objet et la divisiou naturelle de la géométrie. Nous définirons donc la géométrie une science qui a pour

NOTIONS PKLliUNAlRES. 3

* objet C élude des propriétés de l'étendue et la mesure de cette étendue.

6. On distingue trois sortes de lignes : la d/vile, la brisée et la courbe.

7. Il u’est personne qui ne sache très-bien ce que c’est qu’une ligne droite : l’arête d’une règle bien dressée nous en offre un exemple. Tout le inonde sait encore que la ligne droite est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre, et qu’en conséquence , entre deux points donnés on ne peut tirer qu’une ligne droite. Ce sont là des idées que nous acquérons dès notre enfance, et sur lesquelles tous les hommes sont d’accord.

8. Il suit de là 1 0 que deux droites distinctes ne peuvent avoir qu’un seul point commun;

2° Que la ligne droite , qui joint deux points, étant le plus court chemin pour aller 1 de l’un à l’autre, est la mesure naturelle de la distance de ces deux points.

Théorème I.

9. Deux droites qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue (*).

Soient en effet ZX et Z'X' deux lignes droites, et Fig- 1. supposons que l’on porte la seconde sur la première, en plaçant les points A' et B' respectivement sur les points A et B. D’abord il est clair que les deux droites coïncideront parfaitement dans l’intervalle de A à B (7); mais en sera-t-il de même au delà de ces points? Supposons qu’elles se séparent en C, de sorte que A'X' prenne la position ABC Y, et faisons tourner cette dernière autour de A, de manière à amener un quelconque Y de ses points sur la première droite. Il est évident que tous les points de AB Y, à l’exception de A, auront participé à sou mouvement, et qu’ainsi tous

(■) Il y a des lignes droites de toute grandeur, car on peut supposer aussi éloignés qu’on le voudra les deux points dont une pareille ligne mesure la distance.

ceux de scs points qui se trouvaient sur AUX s’en * seront détachés. Nous aurons donc ainsi deux droites distinctes de A en X, ce qui est absurde : donc il était pareillement absurde de supposer que les deux droites pussent se séparer; donc clics coïncident entièrement.

10. Corollaire i. Deux points donnés déterminent la position d’une droite : car on peut évidemment tirer une ligne droite par ces deux points (7), et nous venons de voir qu’on ne peut en faire passer qu’une.