OC OC

Kacos*/

pcos'y ycos'XA*

a' 8* 7* \ /cos'/ cosV cos'X^

Si nous remettons les équations de SA sous la forme 1

cos< cosy cosA-

et si dans la formule (a) nous remplaçons 9* par (cos"/-h cos"/ -h cos' A) (7*, Félimination de i, /, Â sefaii immédiatement, et Pon a, pour le cône cherché, Téquation

= (T'Kx - a)' 4- ( J - p)' + (z - 7)'],

qui peut être simplifiée. D'abord, en prcnaot le poinlS pour origine des coordonnées, on a

en posant

Si on laissait au contraire l'origine au centre de Tellipsoïde, l'équatiou (b)se simplifierait encore et deviendrait

ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. 5o5

L'équation (4) montre que tous les cônes correspondants aux diflérentes valeurs de a' ont les mêmes axes principaux. En écrivant, enetlet, les équations d'où dépendent les directions des axes, on constate que ces directions sont indépendantes de cr. Si dans Téquation (6) on fait <7 = o, on a le cône circonscrit à l'ellipsoïde; donc tous les cônes en question ont les mêmes axes que le cône circonscrit à rellipsoïdc.

Théorème IV. — Les axes du cône circonscrit à V ellipsoïde, et ayant pour sommet le point S, sont les normales aux surfaces homofocales passant par ce point S.

En effet, reprenons l'équation (4), transformons les coordonnées, et prenons pour axes les normales aux surfaces homofocales passant en S. Tl faudra changer

r en

fl'a «"a «"a

Y en

z en

p', p" et p"' désignant, pour abréger, les quantités sui vantes :

p - L^ "*" pï "^ ?i J '

5o6 STATIQUE.

on obtient alors, au lieu de (4)) Téquation suivante : Or, on a

et de ces deux équations on tiré par soustraction, en ayant égard aux relations (3),

On tire de même par soustraction .« de (5) et de (9),

a'a'* b'b'^ c'c'^ \ de (il) et (la),

de la première équation ( 7) et de ( i a),

at}

f is - p' 7> A I

^ ^^ a^a* b'b'' c'c'* X' Ip''

En tenant compte des équations (7), (la), (i3)) (<4ji

ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. So^

l'équation (8) devient

fi» v' / V p' v'

ipp'jcf ^p' p" yz upp^

c'est-à-dire, réductions faites,

Cette dernière équation montre que les cônes considérés tout à rheure ont mêmes axes, et que ces axes sont les normales aux surfaces homofocales passant par le sommet S. c. Q. F. D.

On peut remarquer que la quantité K est précisément le terme constant de Téquation en i/, en sorte que

Si l'on fait a = o, on a Téquation du cône circonscrit à Tellipsoïde (i), et ayant son centre en S :

On dit que deux points sont correspondants sur deux ellipsoïdes homofocaux, lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles aux demi-axes parallèles; en adoptant cette définition, on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème V. — La distance d^ deux points pris au

5o8 STATIQUE.

hasard, sur deux ellipsoïdes homofocaiix, est égale à la distance de leurs correspondants.

Prenons, en efTet, les équations des ellipsoïdes soas la forme :

(1) X:=: a COSt^y f :=z b COSXf Z = C COS^y

(2) xz=a'coSf, ^ 1= ^'cos;^, a = c'cos>|>,

dans laquelle ^, ^, ^ désignent les angles d*une dmile avec les axes. Nous le pouvons, car rélimination de (p, ^, ^ entre ces trois équsttions et cette quatrième, cos*cj» -f- cos*jf-f- cos*^{/ == I, conduit sans peine à Téquatîon ordinaire de cette surface.

Soient alors acos^, ècos^r, ccosip les coordonnées d'un point M du premier ellipsoïde 5 n'cos ^', A'cos//, c'cos^' les coordonnées d'un point M' du second. Le carré de la distance de ces points sera

MM' = ( a ces <f — fl'cos ^' }'-*-( ^ cos x — ^'cos x'j' ■4- (ccosip — c'cosi|i')*.

Soient N et N' les correspondants de M et M', et fl'cos^^ b'coéx"^ c'cos(|/" et rtcos(p'", ftcos;^'", ccos^l**'' leurs coordonnées^ on aura, pour exprimer la condition de

correspondance, 9'' = cj>, )^''=x>^" = +9 '?''' = 'î'ï vJ" ='/! et ^'"= ^\ et par suite

NN' = (a' cos ^ — « cos f ')' -f- ( ^ cos x' — A' ces xY + (ccosi|/' — c'cosi|/)'.

Si l'on prend la différence entre MM' et NN' , en observant que a* — a", è* — A", c* — c'* sont égaux, on trouve

(fl' — a'^) (cos'(p -4- cos'x -*- cos^>j; — cos'*' — cos' x' — coj*^»')» c'est-à-dire zéro; donc MM'= NN'. c. q. r. o.

^ ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. Sop

223. Nous pouvons actuellement aborder la théorie géométrique de Tattraction des ellipsoïdes.

Considérons d^abord une couche ellipsoïdale comprise entre deux surfaces homothéliques et concentriques : soit S (fig' 5o) un point attiré. Prenons ce point pour sommet d'un cône infinitésimal qui découpe dans la couche deux solides ABCD, A'B'C'D'.

Si Ton suppose la couche infiniment mince, on pourra, dans le calcul de l'attraction, négliger Faction de la portion annulaire comprise à Pcxlérieur du cône tangent à la surface interne. Soient ret r' les distances du point àS aux solides ABCD, A'B'C'D'-, l'attraction exercée en ABCD se calculera en décomposant son volume en tranches sphériques très-minces ayant leur centre en Sj Faction d'une de ces tranches est

h désignant le coefficient de Tattraction, p la masse spécifique de couche, co la surface de la tranche considérée et dr son épaisseur. En intégrant, on trouve, pour l'action totale de la partie ABCD;

XpHAB,

n désignant la section faite dans le cône infinitésimal par la sphère de rayon i décrite du point S comme centre. On trouverait de même, pour l'action de A'B'C'D',

XpilA'B'.

Or, les épaisseurs AB et A'B' sont égales, car les surfaces de la couche considérée étant homothétiques, les plans diamétraux d'une même direction dans les deux ellipsoïdes sont identiques, et par suite les cordes AA^ et BB' ont mêmes milieux, donc A'B' = AB; donc aussi les ac-

3iO STATIQUE. «

lions de ABCD et A'B'C'D' sont égales, et l'on peut énoncer le théorème suivant du à Newton :

Théorème VI. — V attraction d'une couche ellipsoïdale comprise entre deux surfaces homothétiques infiniment voisines Vune de V autre ^ sur un point intérieur, est nulle, et par conséquent r attraction exercée par une couche finie, formée de couches comprises entre deux surfaces ellipsoïdales homothétiques et homogènes, est nulle.

Revenons avec M. Chasles au cas où le point attiré S est extérieur à la couche. Prenons le point S pour origine des coordonnées et Taxe du cône circonscrit à la surface externe de la couche pour axe des z. Si nous faisons usage de coordonnées polaires, Télément de volume attirant sera

r'rfr sind<fÔf/x|/,

dr désignant la portion de rayon vecteur comprise entre les deux surfaces de la couche, d la colatilude et ^ la longitude. Par suite, l'attraction exercée par le volume en question sera

(i) k^dr%\n^d^d^.

Soit SA [fig* 5 1 ) le rayon r, O le centre de rdlipsoïde extérieur, OC le diamètre parallèle à SA, joignons SO. On aura