DIX-HUITIÈME LEÇON

Méthode géométrique de M. Chasies pour la détermination de l'attraction des sphéroïdes. — Surfaces homofocales du second degré et leurs propriétés.— Lieu des pôles d'un plan fixe par rapport aux surfaces homofocales. — Lieu des stksantes — Cônes correspondants. — Normales aux surfaces homofocales. — Points correspondants. — Attraction sur un point intérieur d'une couche ellipsoïdale comprise entre deux surfaces homothétiqnes et concentriques. — Théorème de Newton. — Attraction sur un point extérieur. — Potentiel; sa valeur. — Attraction d'une couche ellipsoïdale sur un point extérieur. — Théorème d'Ivory. — Théorèmes généraux sur l'attraction des corps. — Surfaces de niveau relatives à l'attraction. — Point", surfaces et volumes correspondants.— Valeur de l'attraction exercée par un corps sur les éléments d'une surface de niveau. — Volume contenu dans un canal quelconque orthogonal. — Somme des molécules et volume d'une couche. — Somme des molécules et masse d'une couche. — Action d'une couche sur un point intérieur, sur un point à sa surface, sur un point extérieur. — Action exercée par deux couches. — Passage de l'attraction à la répulsion. — Attraction des paraboloîdes ; calcul de M. Bourget. — Attraction des polyèdres; calcul de M. Mehler. — Attraction exercée suivant la puissance an de la distance; calcul de M. Mathey.

221 . Quoique la théorie générale de rattractiou des sphéroïdes, développée dans la Leçon qui précède, ne laisse rien à désirer, nous croyons cependant devoir la compléter par Texposé de deux méthodes très-remarquables de M. Chasies, Tune géométrique, et qui nous donnera la démonstration des théorèmes de Newton et d'Ivory, qu'il n'est pas permis d'ignorer ; l'autre analytique, qui nous conduit à une foule de théorèmes généraux sur Tattraction des corps et des systèmes de corps . On nous saura gré en outre d'examiner, au moins en passant, les questions secondaires de l'attraction des paraboloîdes ou

500 STATIQIJE.

des polyèdres, et un cas particulier de Tattraction en raison d^une puissance paire de la distance autre que la seconde.

222. Démontrons d'abord quelques théorèmes ou lemmes de Géométrie qui trouveront leur placedansun certain nombre de questions de Mécanique et de Physique mathématique.

On appelle surfaces homofocales des surfaces du second ordre dont les sections principales ont les mêmes foyers. Soient a^ b, c les demi-axes d'nn ellipsoïde : si Ton demande Téquation des surfaces homofocales rapportées à leurs axes, on aura, en désignant par a\ i', c' leurs

demi-axes,

et en désignant par ii la valeur commune de ces trois différences, on aura

a'^=za^-h ity b'^z=b^-^u et c'^'zzz c^ -\- u\

Téqualion demandée sera donc

ai" r» 2'

tf ' -4- tt b^ -h u c^ -h u

Théorème I. — Par chaque point de l'espace on peut faire passer trois surfaces homofocales à VeUipsoide donné par V équation

Ces trois surfaces se coupent orthogonalemcnt , En effet, si dans Téquation

' «'-+-« b^ -h u c' -h II

qui représente les surfaces homofocales avec l'ellipsoïde proposé, on regarde x,j% z comme constantes, on oblieut une équation du troisième degré en f/, qui fournit bien

ATTRACTION DES SPnÉROÏDES. 5oi

trois surfaces distinctes passant par x, y, z. Nous allons voir que ces surfaces sont réelles. Pour cela mettons Péquation en question sous la forme

— (a'-4-«)(A'-ha) (c*-h tt) = o.

Si l'on suppose a" ]> fc* ^ c*, le premier membre de celle équation a le signe

-h pour il =-- — a^, — ... u r^ — b\

tt =1 -4- 00 .

A Tinspection de ce tableau, on voit immédiatement que Téquation (^) a trois racines réelles dont les valeurs absolues sont comprises entre a" et i*, i* et c", c" et -f-oo ; et qu^en outre ces trois surfaces homofocales passant par Xj y, z sont d'espèce différente.

La surface qui correspond à la valeur de u comprise entre — a} et — £' est un hyperboloïde à deux nappes; celle qui correspond à la valeur de u comprise entre — i" et — c* est un hyperboloïde à une nappe \ enfin la dernière est un ellipsoïde.

Nous désignerons dorénavant par /, p, v les racines de Téquation en u, et nous poserons

(3) I «"» z= fl> 4- f*, ^"•»— ^«-h^, c"' = c2 4- fil,

( fl*'»r= à" -4- V, b'^'— b' -4- V, c'"'= c' 4- v.

Les équations de deux surfaces homofocales passant par un même point sont :

jr* y"^ z^

il'' ' b'^ ' (/' " ' '

5o!i STATIQUE.

Si Fon retranche ces équations Tune de Tautre en supposant x^ j^ z constants, on a

Or, puisque Tëquation en u n'a pas de racines égales, X — fx est diiTérent de zéro, donc

' -H -yr-.TT — O.

a'^a"^ h'^b"^ du"' Cette équation exprime que les normales aux surfaces considérées sont perpendiculaires entre elles, car —, 77^»

— » "TTi' T^' "75 s^"' proportionnels respectivement aux

cosinus des angles que ces normales font avec les axes; donc les surfaces homofocales passatit par un même point se coupent orthogoualement. c. q. f. d.

Théorème II. — Le lieu des pôles d\m plan fixe par rapport aux surfaces homofocales relatives aux diverses valeurs du paramètre u est une droite perpendiculaire à ce plan .

En effet, l'équation du plan polaire du point or, jr^ z est, en appelant ^, 77, ^ les coordonnées courantes,

Si l'on exprime que ce point est fixe, on a, en désignant par A^ Bj C trois constantes,

a'-h u b^-hu <?' -I- " __ ^

— ^ z=Jf, — o.

Ceci revient évidemment à identifier Téquation du plan polaire avec Téquation du plan fixe

ATTRACTION DBS SPHÉROÏDES. 5o3

Si enlre les équations précédentes on élimine u, on a

Ax ^ d" = Bx — h^ ^ Cz — c%

équations d'une droite perpendiculaire au plan fixe. Cette droite passe évidemment par le point où le plan fixe touche Tune des surfaces homofocales.

Théoeème m. — Si par un point S (fig- 49) <>'' mène à un ellipsoïde des sêcantrs SAB et par le centre O les demi-diamètres OC parallèles à ces sécantes^ le lieu d<^s

sécantes pour lesquelles le rapport — ; ebt constant est

OC un cône du second degré.

En effet, cherchons Téquation de ce cône. Soient a, |3, y les coordonnées du point S, et conservons pour Tellipsolde les mêmes notations que ci-dessus. Les équations de SB peuvent se mettre sous la forme

a: = a -h û cos /,

r = p -f p cosy,

Zz=zy -\- ^ COS /•.

En substituant ces valeurs de x, y, z dans Téquation de Tellipsoïde, on obtient une équation du second degré en p dans laquelle la différence des racines est précisément AB; on a ainsi

(acofti pcosy ycos/V la} p* 7' \ /cos*i cosV cos' A

(cos* I cosV cos* X- \ *

D'un autre côté, on a évidemment