GA OD

considérées et Ton fait x=zo dans l'équation de la courbe. Dans l'équation en j ainsi obtenue, le produit des racines représente l'un des produits do segments considérés; or si B désigne le coefficient de la plu» haute puissance de^ et C le terme indépendant des variables, le produit

en question sera égal à ±: 2. L'autre produit s'obtiendrait d'une manièn* semblable et serait égal à ±: -r-, A désignant le coefficient de la plus haute

puissance de x. I^ rapport de ces deux produits est ^ , c'est-à-dire constant, à la condition que, quand le point S changera de position, la direction des sécantes ne variera pas. On sait, en effet, que le changement d'origine n'altère pas dans la transformation des coordonnées les coefficients des termes du degré le plus éleré.

313 STÀTIQVE.

L'expression (■) de l'attraction devient alors

. ÔC* rf.OD . ^ ,^ .,

OC et SI Ton attribue à •;^--- des valeurs déterminées, on ol>-

tiendra des éléments de volumes coniques (voir théorèmes III et IV) ayant pour axe la droite choisie pour axe des z. Pour deux valeurs de \p différentes de tt, les éléments seront égaux, car 6 prendra des valeurs égales; donc Fattraction des deux éléments correspondants à ces valeurs de ^ fournira une attraction dirigée suivant Taxe des z, et Ton arrive au théorème suivant :

Théorème VII. — V attraction d'une couche homogène injîniment mince limitée à deux ellipsoïdes concentriques et homothétiques^ sur un point extérieur, est dirigée suiv^ant l'axe du cône circonscrit à la surface externe de la couche ayant son sommet au point attiré} cette direction coïncide du reste auec la nor'male à la surface hornofocale de la surface externe de'la couche passant par le point altir^é.

Il résulte de là que les surfaces de niveau ne sont autre chose que des ellipsoïdes homofocaux à la surface externe de la couche. Rappelons ici que Ton appelle surfaces de rweau celles qui sont en tous leurs points normales aux directions des forces qui sollicitent ces points. Si X, Y, Z désignent les composantes de l'attraction suivant trois axes rectangulaires, on devra donc avoir

Xé/or-f- Ydy -hZdz = o^

dx^ dj^ dz étant proportionnels aux cosinus que fait la normale aux surfaces de niveau avec les axes. Cette expression est une différentielle exacte, puisque X, Y, Z

ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. 5l3

sont les dérivées de la fonction des forces U, à laquelle nous donnerons désormais le nom de potentiel. On peut donc dire que tout le long d'une surface de niveau le potentiel est constant.

Lorsqu'on connaît les surfaces de niveau, il est facile d'en déduire la valeur du potentiel U qui satisfait, comme nous l'avons vu, à Tcquation

(i) DjUH- D;U-hD,'U=ro ou A<')U-^o.

Cela posé, Téquaiion des surfaces de niveau renferme un paramètre m, constant sur une même surface et variable d'une surface à l'autre. U, fonction de ce paramètre, est aussi constant sdr une même surface de niveau et variable d\me surface à l'autre. U et u varient donc et sont constants en même temps, et puisque U est fonction de f/, on a

En changeant x en y et en ^, on obtient deux autres formules analogues à la précédente qui, combinées avec elle par voie d'addition, donnent en vertu de (i)

(2) D»U(A(0«)'-HD„TJAf')«=:o.

Cette équation différentielle du second ordre peut s'intégrer par les quadratures, et si l'on pose

on trouve

u= rc."^^^"^^%/«4-c',

C et C^ désignant deux constantes.

224. Appliquons celte théorie aux ellipsoïdes. Nous avons trouvé que les surfaces de niveau relatives à Tat- I. 33

5l4 STATIQUE.

traction exercée par un ellipsoïde étaient des ellipsoïdes homofocaux ^ Téquation des surfaces de niveau, dans le cas actuel, peut donc être présentée sous la forme